Exercício 21 - (FUVEST, 2018) Sejam Df e Dg os maiores subconjuntos de R nos quais estão definidas, respectivamente, as funções reais f(x)=raizx^3+2 x^2-4 x-8x-2 e
g(x)=raizx^3+2 x^2-4 x-8raizx-2.
Considere, ainda, If e Ig as imagens de f e de g, respectivamente.
Nessas condições,
a) Df=Dg e If=Ig.
b) tanto Df e Dg quanto If e Ig diferem em apenas um ponto.
c) Df e Dg diferem em apenas um ponto, If e Ig diferem em mais de um ponto.
d) Df e Dg diferem em mais de um ponto, If e Ig diferem em apenas um ponto.
e) tanto Df e Dg quanto If e Ig diferem em mais de um ponto.

Passo 1

O enunciado define
f(x)=raizx^3+2x^2-4x-8x-2 e g(x)=raizx^3+2x^2-4x-8raizx-2
e pede os maiores domínios Df,Dg e as respectivas imagens If,Ig. Para resolver vamos fatorar o radicando cúbico, achar as condições de existência de cada função e depois determinar seus valores possíveis.

Passo 2

Fatoramos
x^3+2x^2-4x-8
Como x=2 anula esse polinômio, dividimos por (x-2) por divisão sintética:
coeficientes 1,2,-4,-8, root 2 to quociente x^2+4x+4=(x+2)^2.
Logo
x^3+2x^2-4x-8=(x-2)(x+2)^2

Passo 3

Domínio de f: dentro da raiz temos
(x-2)(x+2)^2x-2=(x+2)^2,
válido para xneq2. A condição é
x^3+2x^2-4x-8x-2>=0 e xneq2
Para xneq2 o quociente é (x+2)^2>=0 sempre. Logo
Df=Rsetminus2

Passo 4

Domínio de g: exige-se
x^3+2x^2-4x-8>=0 e x-2>0
Para x>2 temos (x-2)>0 e (x+2)^2>0, logo x^3+2x^2-4x-8>0. Portanto
Dg=(2,infty)

Passo 5

Imagem de f: para xneq2,
f(x)=raiz(x+2)^2=|x+2|
Como x varia por todo Rsetminus2, |x+2| atinge todos os valores >=0 (em x=-2 vale 0). Assim
If=[0,infty)

Passo 6

Imagem de g: para x>2,
g(x)=raiz(x-2)(x+2)^2raizx-2 =raizx-2,l|x+2r|raizx-2 =|x+2|
Mas se x>2 então x+2>0, logo g(x)=x+2. Como xin(2,infty), x+2 percorre (4,infty). Assim
Ig=(4,infty)

Passo 7

Comparando
Df=Rsetminus2, Dg=(2,infty),
eles diferem em todos os x<2 (incontáveis pontos).
E
If=[0,infty), Ig=(4,infty),
diferem em todos os valores de 0 até 4. Portanto tanto domínios quanto imagens diferem em mais de um ponto.

Resposta

e) tanto Df e Dg quanto If e Ig diferem em mais de um ponto.

Exercícios relacionados