Exercício 21 - (FUVEST, 2018) Sejam e os maiores subconjuntos de nos quais estão definidas, respectivamente, as funções reais .
Considere, ainda, e as imagens de e de , respectivamente.
Nessas condições,
a) e .
b) tanto e quanto e diferem em apenas um ponto.
c) e diferem em apenas um ponto, e diferem em mais de um ponto.
d) e diferem em mais de um ponto, e diferem em apenas um ponto.
e) tanto e quanto e diferem em mais de um ponto.
Passo 1
O enunciado define
e pede os maiores domínios e as respectivas imagens . Para resolver vamos fatorar o radicando cúbico, achar as condições de existência de cada função e depois determinar seus valores possíveis.
Passo 2
Fatoramos
Como anula esse polinômio, dividimos por por divisão sintética:
coeficientes , root quociente .
Logo
Passo 3
Domínio de : dentro da raiz temos
válido para . A condição é
Para o quociente é sempre. Logo
Passo 4
Domínio de : exige-se
Para temos e , logo . Portanto
Passo 5
Imagem de : para ,
Como varia por todo , atinge todos os valores (em vale ). Assim
Passo 6
Imagem de : para ,
Mas se x>2 então x+2>0, logo g(x)=x+2. Como xin(2,infty), x+2 percorre (4,infty). Assim
Ig=(4,infty)
Passo 7
Comparando
Df=Rsetminus2, Dg=(2,infty),
eles diferem em todos os x<2 (incontáveis pontos).
E
If=[0,infty), Ig=(4,infty),
diferem em todos os valores de 0 até 4. Portanto tanto domínios quanto imagens diferem em mais de um ponto.
Resposta
e) tanto Df e Dg quanto If e Ig diferem em mais de um ponto.