Questão 2. Sendo a=x_{0}<\ldots<x_{m}=b, onde x_{i+1}=x_{i}+h, o valor aproximado de I=\int_{a}^{b} \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{dx} pode ser calculado como:
Regra do Trapézios: I \approx \frac{h}{2}\left[f\left(x_{0}\right)+2 f\left(x_{1}\right)+2 f\left(x_{2}\right)+\ldots+2 f\left(x_{n-1}\right)+f\left(x_{n}\right)\right], com erro de truncamento |E| \leq \frac{b-a}{12} h^{2} M, onde M \geq\left|f^{\prime \prime}(x)\right|, \mathrm{x} \in[\mathrm{a}, \mathrm{b}].
Regra de Simpson: I \approx \frac{h}{3}\left[f\left(x_{0}\right)+4 f\left(x_{1}\right)+2 f\left(x_{2}\right)+\ldots+2 f\left(x_{n-2}\right)+4 f\left(x_{n-1}\right)+f\left(x_{n}\right)\right], com erro de truncamento |E| \leq \frac{b-a}{180} h^{4} M, onde M \geq\left|f^{(i v)}(x)\right|, \mathrm{x} \in[\mathrm{a}, \mathrm{b}].
Calcule o valor da integral \int_{0}^{1} \cos (2 x) d x :
a) (Valor 1,0) Pela regra dos Trapézios com 6 subintervalos (utilize 3 casas decimais).
b) (Valor 1,0 ) Pela regra de Simpson com 6 subintervalos (utilize 3 casas decimais).
c) (Valor 1,0) Calcule o número de subintervalos que garante erros menores que 10^{-4} \mathrm{em} cada caso.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a integral \int_{0}^{1}\cos(2x)\,dx usando duas regras numéricas com 6 subintervalos e depois calcular quantos subintervalos são necessários para que o erro seja menor que 10^{-4} em cada caso. Informações dadas e condições importantes:
Partição regular com extremos a=0, b=1 e número de subintervalos n=6. Logo o passo é \displaystyle h=\frac{b-a}{n}=\frac{1}{6}.
Função f(x)=\cos(2x). Precisaremos avaliar f nos pontos x_i=a+ih, i=0,\dots,6.
Objetivos pedidos:
a) Aplicar Trapézios com n=6 e dar resultado com 3 casas decimais.
b) Aplicar Simpson com n=6 e dar resultado com 3 casas decimais.
c) Determinar o menor n que garanta erro <10^{-4} em cada caso (usar as cotas dadas).
A partir daqui vamos calcular passo a passo.
Passo 2
Calculemos valores necessários: h=\dfrac{1}{6}. Os pontos são x_i=\dfrac{i}{6}, i=0,\dots,6. Como f(x)=\cos(2x) temos f(x_i)=\cos\!\big(2\cdot \tfrac{i}{6}\big)=\cos\!\big(\tfrac{i}{3}\big). Vou listar f(x_i) com precisão suficiente para obter 3 casas decimais no resultado final:
Esses números foram obtidos avaliando \cos em radianos nos pontos indicados (usei aproximações truncadas/arreondadas que mantêm exatidão no terceiro decimal final do integral).
Passo 3
Aplicando a Regra dos Trapézios composta com n=6. A fórmula é
Arredondando para 3 casas decimais obtemos I_S\approx 0{,}455.
Passo 5
Para referência (comparação), calculemos o valor exato da integral analiticamente: \displaystyle \int_{0}^{1}\cos(2x)\,dx=\left.\frac{1}{2}\sin(2x)\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2}\sin(2)\approx 0{,}4546487134. Isso mostra que Simpson com n=6 ficou muito próximo do valor exato e o Trapézio ficou um pouco mais afastado.
Passo 6
Agora determinamos o menor n que garante erro menor que 10^{-4} em cada caso, usando as cotas dadas. Primeiro precisamos calcular as derivadas relevantes e um valor M que as majorize no intervalo [0,1].