Questão 2. Sendo a=x_{0}<\ldots<x_{m}=b, onde x_{i+1}=x_{i}+h, o valor aproximado de I=\int_{a}^{b} \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{dx} pode ser calculado como:
  • Regra do Trapézios: I \approx \frac{h}{2}\left[f\left(x_{0}\right)+2 f\left(x_{1}\right)+2 f\left(x_{2}\right)+\ldots+2 f\left(x_{n-1}\right)+f\left(x_{n}\right)\right], com erro de truncamento |E| \leq \frac{b-a}{12} h^{2} M, onde M \geq\left|f^{\prime \prime}(x)\right|, \mathrm{x} \in[\mathrm{a}, \mathrm{b}].
  • Regra de Simpson: I \approx \frac{h}{3}\left[f\left(x_{0}\right)+4 f\left(x_{1}\right)+2 f\left(x_{2}\right)+\ldots+2 f\left(x_{n-2}\right)+4 f\left(x_{n-1}\right)+f\left(x_{n}\right)\right], com erro de truncamento |E| \leq \frac{b-a}{180} h^{4} M, onde M \geq\left|f^{(i v)}(x)\right|, \mathrm{x} \in[\mathrm{a}, \mathrm{b}].
Calcule o valor da integral \int_{0}^{1} \cos (2 x) d x :
a) (Valor 1,0 ) Pela regra dos Trapézios com 6 subintervalos (utilize 3 casas decimais).
b) (Valor 1,0 ) Pela regra de Simpson com 6 subintervalos (utilize 3 casas decimais).
c) (Valor 1,0 ) Calcule o número de subintervalos que garante erros menores que 10^{-4} \mathrm{em} cada caso.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral \int_{0}^{1}\cos(2x)\,dx usando duas regras numéricas com 6 subintervalos e depois calcular quantos subintervalos são necessários para que o erro seja menor que 10^{-4} em cada caso. Informações dadas e condições importantes:
  • Partição regular com extremos a=0, b=1 e número de subintervalos n=6. Logo o passo é \displaystyle h=\frac{b-a}{n}=\frac{1}{6}.
  • Função f(x)=\cos(2x). Precisaremos avaliar f nos pontos x_i=a+ih, i=0,\dots,6.
  • Fórmulas e cotas de erro dadas:
    • Regra dos Trapézios composta: I\approx \frac{h}{2}\Big[f(x_0)+2f(x_1)+\dots+2f(x_{n-1})+f(x_n)\Big],com erro satisfeito por |E_T|\le \frac{b-a}{12}\,h^2 M_T,\quad M_T\ge \max_{[a,b]}|f''(x)|.
    • Regra de Simpson composta: I\approx \frac{h}{3}\Big[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+\dots+4f(x_{n-1})+f(x_n)\Big],com erro satisfeito por |E_S|\le \frac{b-a}{180}\,h^4 M_S,\quad M_S\ge \max_{[a,b]}|f^{(4)}(x)|.
  • Objetivos pedidos:
    a) Aplicar Trapézios com n=6 e dar resultado com 3 casas decimais.
    b) Aplicar Simpson com n=6 e dar resultado com 3 casas decimais.
    c) Determinar o menor n que garanta erro <10^{-4} em cada caso (usar as cotas dadas).
    A partir daqui vamos calcular passo a passo.

Passo 2

Calculemos valores necessários: h=\dfrac{1}{6}. Os pontos são x_i=\dfrac{i}{6}, i=0,\dots,6. Como f(x)=\cos(2x) temos f(x_i)=\cos\!\big(2\cdot \tfrac{i}{6}\big)=\cos\!\big(\tfrac{i}{3}\big). Vou listar f(x_i) com precisão suficiente para obter 3 casas decimais no resultado final:
\begin{aligned} f(x_0)&=\cos(0)=1.000000000,\\\ f(x_1)&=\cos\!\big(\tfrac{1}{3}\big)\approx 0.944957033,\\\ f(x_2)&=\cos\!\big(\tfrac{2}{3}\big)\approx 0.785886667,\\\ f(x_3)&=\cos(1)\approx 0.540302306,\\\ f(x_4)&=\cos\!\big(\tfrac{4}{3}\big)\approx 0.235006777,\\\ f(x_5)&=\cos\!\big(\tfrac{5}{3}\big)\approx -0.095723057,\\\ f(x_6)&=\cos(2)\approx -0.416146837. \end{aligned}
Esses números foram obtidos avaliando \cos em radianos nos pontos indicados (usei aproximações truncadas/arreondadas que mantêm exatidão no terceiro decimal final do integral).

Passo 3

Aplicando a Regra dos Trapézios composta com n=6. A fórmula é
I_T=\frac{h}{2}\Big[f(x_0)+2\!\sum_{i=1}^{5} f(x_i)+f(x_6)\Big].
Calculemos a soma interna:
\sum_{i=1}^{5} f(x_i)=0{,}944957033+0{,}785886667+0{,}540302306+0{,}235006777-0{,}095723057.
Somando passo a passo:
0{,}944957033+0{,}785886667=1{,}730843700,
1{,}730843700+0{,}540302306=2{,}271146006,
2{,}271146006+0{,}235006777=2{,}506152783,
2{,}506152783-0{,}095723057=2{,}410429726.
Logo
I_T=\frac{1/6}{2}\Big[1 + 2\cdot 2{,}410429726 + (-0{,}416146837)\Big].
Simplificando \dfrac{h}{2}=\dfrac{1}{12} e o interior:
1 + 2\cdot 2{,}410429726 -0{,}416146837 = 5{,}404712615.
Então
I_T=\frac{1}{12}\cdot 5{,}404712615 \approx 0{,}4503927179.
Arredondando para 3 casas decimais obtemos I_T\approx 0{,}450.

Passo 4

Aplicando a Regra de Simpson composta com n=6. A fórmula (com n par) é
I_S=\frac{h}{3}\Big[f(x_0)+4\sum_{i\\ \text{ímpar}} f(x_i)+2\sum_{i\\ \text{par},\\\ 2\le i\le n-2} f(x_i)+f(x_n)\Big].í
Identifiquemos as somas:
\text{somatório ímpares }(i=1,3,5):\; f(x_1)+f(x_3)+f(x_5)=0{,}944957033+0{,}540302306-0{,}095723057=1{,}389536282.óí
\text{somatório pares }(i=2,4):\; f(x_2)+f(x_4)=0{,}785886667+0{,}235006777=1{,}020893444.ó
Substituindo:
I_S=\frac{1/6}{3}\Big[1 + 4\cdot 1{,}389536282 + 2\cdot 1{,}020893444 -0{,}416146837\Big].
Note que \dfrac{h}{3}=\dfrac{1/6}{3}=\dfrac{1}{18}. Calcule o interior:
1 + 4\cdot 1{,}389536282 + 2\cdot 1{,}020893444 -0{,}416146837 = 8{,}183785179.
Então
I_S=\frac{1}{18}\cdot 8{,}183785179 \approx 0{,}4546547322.
Arredondando para 3 casas decimais obtemos I_S\approx 0{,}455.

Passo 5

Para referência (comparação), calculemos o valor exato da integral analiticamente: \displaystyle \int_{0}^{1}\cos(2x)\,dx=\left.\frac{1}{2}\sin(2x)\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2}\sin(2)\approx 0{,}4546487134. Isso mostra que Simpson com n=6 ficou muito próximo do valor exato e o Trapézio ficou um pouco mais afastado.

Passo 6

Agora determinamos o menor n que garante erro menor que 10^{-4} em cada caso, usando as cotas dadas. Primeiro precisamos calcular as derivadas relevantes e um valor M que as majorize no intervalo [0,1].
A função é f(x)=\cos(2x). Calculam-se:
f''(x) = -4\cos(2x)\quad\Rightarrow\quad |f''(x)|\le 4\\ \text{em }[0,1],
logo podemos escolher M_T=4 para a cota do trapézio.
f^{(4)}(x)=16\cos(2x)\quad\Rightarrow\quad |f^{(4)}(x)|\le 16\\ \text{em }[0,1],
então M_S=16 para a cota de Simpson.

Passo 7

Erro para Trapézios: a cota é
|E_T|\le \frac{b-a}{12}\,h^2 M_T.
Aqui b-a=1, M_T=4 e h=\dfrac{1}{n}. Substituindo:
|E_T|\le \frac{1}{12}\cdot h^2\cdot 4 = \frac{4}{12}h^2=\frac{1}{3}h^2=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{n^2}.
Queremos \dfrac{1}{3n^2}<10^{-4}. Resolva para n:
\frac{1}{n^2}<3\cdot 10^{-4}\quad\Rightarrow\quad n^2> \frac{1}{3\cdot 10^{-4}}=\frac{1}{0{,}0003}\approx 3333{,}3333.
Tomando raiz quadrada:
n>\sqrt{3333{,}3333}\approx 57{,}735.
Como n deve ser inteiro, o menor n que atende é n=58. (Para Trapézios não há restrição de paridade.)

Passo 8

Erro para Simpson: a cota é
|E_S|\le \frac{b-a}{180}\,h^4 M_S.
Com b-a=1, M_S=16 e h=\dfrac{1}{n}:
|E_S|\le \frac{1}{180}\cdot h^4\cdot 16 = \frac{16}{180}h^4=\frac{4}{45}h^4=\frac{4}{45}\cdot\frac{1}{n^4}.
Queremos \dfrac{4}{45}\cdot \dfrac{1}{n^4}<10^{-4}. Resolva:
\frac{1}{n^4} < \frac{45}{4}\cdot 10^{-4} = 11{,}25\cdot 10^{-4} = 0{,}001125.
Então
n^4 > \frac{1}{0{,}001125}\approx 888{,}888{,}888\dots \Rightarrow n > (888{,}888{,}888)^{1/4}\approx 5{,}462.
Como Simpson exige n par, o menor n inteiro par maior que 5{,}462 é n=6. Verificação rápida da cota com n=6:
|E_S|\le \frac{4}{45}\cdot\frac{1}{6^4}=\frac{4}{45\cdot 1296}=\frac{4}{58320}\approx 6{,}86\times 10^{-5}<10^{-4},
portanto n=6 é suficiente.

Resposta

a) 0{,}450
b) 0{,}455
c) Trapézios: n=58 \n Simpson: n=6

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