Exercício 4 (20 pontos) Considere em \mathbb{R}^{3} as bases A=\left\{u_{1}, u_{2}, u_{3}\right\} \quad e \quad B=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} tais que
O enunciado fala de duas bases A=\{u_1,u_2,u_3\}\) e \(B=\{v_1,v_2,v_3\}\) em \(\mathbb{R}^3\) relacionadas por
\[\begin{cases} v_1 = u_1 + u_3,\\\ v_2 = u_1 - u_2,\\\ v_3 = u_2 - u_3. \end{cases}
Queremos a matriz de mudança de coordenadas (mapa identidade) [S]_{A,B}\] que leva coordenadas em \(A para coordenadas em B e a inversa [S]_{B,A}, além de converter o vetor v_A=(1,0,-1)_A para suas coordenadas em B.
Passo 2
Primeiro achamos [S]_{B,A} escrevendo cada v_j em coordenadas de A. As colunas são os coeficientes de v_j na base A: