Exercício 4 (20 pontos) Considere em \mathbb{R}^{3} as bases A=\left\{u_{1}, u_{2}, u_{3}\right\} \quad e \quad B=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} tais que
\left\{\begin{array}{l} v_{1}=u_{1}+u_{3} \\\ v_{2}=u_{1}-u_{2} \\\ v_{3}=u_{2}-u_{3} \end{array}\right.
(a) Obtenha [S]_{A, B} e [S]_{B, A}.
(b) Dado v_{A}=(1,0,-1)_{A}, obtenha v_{B}.
  • Talvez seja útil saber que
\left[\begin{array}{ccc} 1 / 2 & 1 / 2 & 1 / 2 \\ 1 / 2 & -1 / 2 & -1 / 2 \\ 1 / 2 & 1 / 2 & -1 / 2 \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fala de duas bases A=\{u_1,u_2,u_3\}\) e \(B=\{v_1,v_2,v_3\}\) em \(\mathbb{R}^3\) relacionadas por \[\begin{cases} v_1 = u_1 + u_3,\\\ v_2 = u_1 - u_2,\\\ v_3 = u_2 - u_3. \end{cases}
Queremos a matriz de mudança de coordenadas (mapa identidade) [S]_{A,B}\] que leva coordenadas em \(A para coordenadas em B e a inversa [S]_{B,A}, além de converter o vetor v_A=(1,0,-1)_A para suas coordenadas em B.

Passo 2

Primeiro achamos [S]_{B,A} escrevendo cada v_j em coordenadas de A. As colunas são os coeficientes de v_j na base A:
v_1 = 1\cdot u_1 + 0\cdot u_2 + 1\cdot u_3,\quad v_2 = 1\cdot u_1 -1\cdot u_2 + 0\cdot u_3,\quad v_3 = 0\cdot u_1 +1\cdot u_2 -1\cdot u_3.
Logo
[S]_{B,A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & 1\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para obter [S]_{A,B} invertemos [S]_{B,A}. Usando a inversa já fornecida, temos
[S]_{A,B} = \bigl([S]_{B,A}\bigr)^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac12 & \tfrac12 & \tfrac12\\\ \tfrac12 & -\tfrac12 & -\tfrac12\\\ \tfrac12 & \tfrac12 & -\tfrac12 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para converter v_A=(1,0,-1)_A em coordenadas de B, multiplicamos
v_B \;=\; [S]_{A,B}\,\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \tfrac12\cdot1 + \tfrac12\cdot0 + \tfrac12\cdot(-1)\\[6pt] \tfrac12\cdot1 -\tfrac12\cdot0 - \tfrac12\cdot(-1)\\[6pt] \tfrac12\cdot1 + \tfrac12\cdot0 - \tfrac12\cdot(-1) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.]

Resposta

(a)
[S]_{A,B} = \begin{pmatrix} \tfrac12 & \tfrac12 & \tfrac12\\\ \tfrac12 & -\tfrac12 & -\tfrac12\\\ \tfrac12 & \tfrac12 & -\tfrac12 \end{pmatrix}, \qquad [S]_{B,A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & 1\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
(b)
v_{B} = (0,\,1,\,1)_{B}.

Exercícios relacionados