Exercício 2 (30 pontos) O núcleo de uma matriz A_{m n} \in \mathbb{M}_{m n}(\mathbb{R}) é o conjunto
N(A)=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} ; A x=0\right\}
(a) Mostre que N(A) é subespaço de \mathbb{R}^{n}.
(b) Mostre que se os vetores colunas de A são L.I., então N(A)=\{0\}.
(c) Determine o núcleo da matriz
(d) Obtenha uma base para o núcleo da matriz A do item (c).
(e) Obtenha uma base para o espaço linha da matriz A do item (c).
(f) Obtenha uma base para o espaço coluna da matriz A do item (c).
Passo 1
O enunciado trata de propriedades do núcleo (ou espaço nulo) de uma matriz A\in\mathbb{M}_{m n}(\mathbb{R}), definindo
N(A)=\{x\in\mathbb{R}^n \mid A x=0\}.
Vamos usar teoria de subespaços vetoriais e eliminação de Gauss para:
– (a) mostrar que N(A) é subespaço de \mathbb{R}^n,
– (b) mostrar que se as colunas de A são L.I. então N(A)=\{0\},
– (c)–(f) no caso concreto de
calcular N(A), bases para N(A), espaço linha e espaço coluna.
Passo 2
Para mostrar que N(A) é subespaço de \mathbb{R}^n, devemos verificar:
0\in N(A) pois A\cdot0=0.
Se u,v\in N(A) então A(u+v)=Au+Av=0+0=0, logo u+v\in N(A).
Se u\in N(A) e \lambda\in\mathbb{R}, então A(\lambda u)=\lambda(Au)=\lambda\cdot0=0, logo \lambda u\in N(A).
Assim, N(A) é subespaço.
Passo 3
Se as colunas de A são linearmente independentes e x\in N(A), então
A x = x_1 c_1 + \cdots + x_n c_n = 0
é combinação linear nula de vetores L.I., forçando x_1=\cdots=x_n=0. Logo N(A)=\{0\}.
Passo 4
Para A\) do item \text{(c)}, note que as linhas 3 e 4 são múltiplos da linha 2, então posto \(\mathrm{rank}(A)=2\). As equações são
\[\begin{cases} x_1 + 3x_2 + x_3 + 3x_4 + 4x_5 = 0,\\\ x_3 + x_4 + x_5 = 0. \end{cases}
Escolhemos variáveis livres x_2=s\], \(x_4=t, x_5=u. Da segunda equação
x_3 = -x_4 - x_5 = -t - u,
e da primeira
x_1 = -3x_2 - 2x_4 - 3x_5 = -3s -2t -3u.
Logo o vetor genérico de N(A) é
x = (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) = \bigl(-3s-2t-3u,\;s,\;-t-u,\;t,\;u\bigr).
Passo 5
Escrevendo em forma de combinação de parâmetros s,t,u,
x = s\,(-3,1,0,0,0) + t\,(-2,0,-1,1,0) + u\,(-3,0,-1,0,1).