Exercício 2 (30 pontos) O núcleo de uma matriz A_{m n} \in \mathbb{M}_{m n}(\mathbb{R}) é o conjunto
N(A)=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} ; A x=0\right\}
(a) Mostre que N(A) é subespaço de \mathbb{R}^{n}.
(b) Mostre que se os vetores colunas de A são L.I., então N(A)=\{0\}.
(c) Determine o núcleo da matriz
A=\left[\begin{array}{lllll} 1 & 3 & 1 & 3 & 4 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2 & 2 & 2 \\\\ 0 & 0 & 3 & 3 & 3 \end{array}\right]
(d) Obtenha uma base para o núcleo da matriz A do item (c).
(e) Obtenha uma base para o espaço linha da matriz A do item (c).
(f) Obtenha uma base para o espaço coluna da matriz A do item (c).

Passo 1

O enunciado trata de propriedades do núcleo (ou espaço nulo) de uma matriz A\in\mathbb{M}_{m n}(\mathbb{R}), definindo
N(A)=\{x\in\mathbb{R}^n \mid A x=0\}.
Vamos usar teoria de subespaços vetoriais e eliminação de Gauss para:
– (a) mostrar que N(A) é subespaço de \mathbb{R}^n,
– (b) mostrar que se as colunas de A são L.I. então N(A)=\{0\},
– (c)–(f) no caso concreto de
A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 3 & 4\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 2 & 2 & 2\\\\ 0 & 0 & 3 & 3 & 3 \end{pmatrix},
calcular N(A), bases para N(A), espaço linha e espaço coluna.

Passo 2

Para mostrar que N(A) é subespaço de \mathbb{R}^n, devemos verificar:
  1. 0\in N(A) pois A\cdot0=0.
  2. Se u,v\in N(A) então A(u+v)=Au+Av=0+0=0, logo u+v\in N(A).
  3. Se u\in N(A) e \lambda\in\mathbb{R}, então A(\lambda u)=\lambda(Au)=\lambda\cdot0=0, logo \lambda u\in N(A).
    Assim, N(A) é subespaço.

Passo 3

Se as colunas de A são linearmente independentes e x\in N(A), então
A x = x_1 c_1 + \cdots + x_n c_n = 0
é combinação linear nula de vetores L.I., forçando x_1=\cdots=x_n=0. Logo N(A)=\{0\}.

Passo 4

Para A\) do item \text{(c)}, note que as linhas 3 e 4 são múltiplos da linha 2, então posto \(\mathrm{rank}(A)=2\). As equações são \[\begin{cases} x_1 + 3x_2 + x_3 + 3x_4 + 4x_5 = 0,\\\ x_3 + x_4 + x_5 = 0. \end{cases}
Escolhemos variáveis livres x_2=s\], \(x_4=t, x_5=u. Da segunda equação
x_3 = -x_4 - x_5 = -t - u,
e da primeira
x_1 = -3x_2 - 2x_4 - 3x_5 = -3s -2t -3u.
Logo o vetor genérico de N(A) é
x = (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) = \bigl(-3s-2t-3u,\;s,\;-t-u,\;t,\;u\bigr).

Passo 5

Escrevendo em forma de combinação de parâmetros s,t,u,
x = s\,(-3,1,0,0,0) + t\,(-2,0,-1,1,0) + u\,(-3,0,-1,0,1).
Assim uma base de N(A) é
\{\,(-3,1,0,0,0),\;(-2,0,-1,1,0),\;(-3,0,-1,0,1)\}.

Passo 6

O espaço linha de A tem dimensão 2 e uma base pode ser obtida pelas duas linhas não-nulas em forma escalonada:
\{(1,3,1,3,4),\;(0,0,1,1,1)\}.

Passo 7

O espaço coluna de A também tem dimensão 2 e uma base é dada pelas colunas de pivô (colunas 1 e 3) de A:
\{(1,0,0,0)^\mathsf{T},\;(1,1,2,3)^\mathsf{T}\}.

Resposta

(a) N(A) é subespaço de \mathbb{R}^n, pois contém 0, é fechado sob soma e produto por escalar.
(b) Se as colunas de A são L.I., então N(A)=\{0\}.
(c)
N(A)=\{(-3s-2t-3u,\;s,\;-t-u,\;t,\;u)\mid s,t,u\in\mathbb{R}\}.
(d) Base de N(A):
\{(-3,1,0,0,0),\;(-2,0,-1,1,0),\;(-3,0,-1,0,1)\}.
(e) Base do espaço linha de A:
\{(1,3,1,3,4),\;(0,0,1,1,1)\}.
(f) Base do espaço coluna de A:
\{(1,0,0,0)^\mathsf{T},\;(1,1,2,3)^\mathsf{T}\}.

Exercícios relacionados