Seja u=(0,2,2) e v=(1,3,1). Quais dos vetores abaixo pertencem a \operatorname{span}\{u, v\} ? Para cada um, encontre (se existirem) \alpha, \beta \in \mathbb{R} tais que \alpha u+\beta v seja o vetor dado.
(3, 1, 5)

Passo 1

O enunciado dá os vetores
u = (0,2,2),\quad v = (1,3,1)
e pergunta se o vetor
w = (3,1,5)
pertence a \operatorname{span}\{u,v\}. Em outras palavras, queremos saber se existem \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
\alpha\,u + \beta\,v = w.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear em componentes, temos
\alpha(0,2,2) + \beta(1,3,1) = (\beta,\;2\alpha+3\beta,\;2\alpha+\beta) = (3,1,5).
Isto gera o sistema
\begin{cases} \beta = 3,\\\\ 2\alpha + 3\beta = 1,\\\\ 2\alpha + \beta = 5. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação tiramos
\beta = 3.
Substituindo na segunda equação,
2\alpha + 3\cdot 3 = 1 \quad\Longrightarrow\quad 2\alpha + 9 = 1 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = -4.

Passo 4

Verificamos a terceira equação com \alpha=-4 e \beta=3:
2(-4) + 3 = -8 + 3 = -5 \neq 5.
Como a terceira componente não confere, o sistema é incompatível e não há (\alpha,\beta) que satisfaça todas as equações.

Resposta

O vetor (3,1,5) não pertence a \operatorname{span}\{u,v\}.

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