Exercício 1 (30 pontos) Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.
O conjunto {\cos (x), \operatorname{sen}(x)}) é linearmente dependente em \mathscr{F}(\mathbb{R} ; \mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de funções \{\cos(x),\operatorname{sen}(x)\} é linearmente dependente no espaço vetorial \mathscr{F}(\mathbb{R};\mathbb{R}). O conteúdo aqui é a definição de dependência linear de funções.

Passo 2

Lembrando a definição: dizemos que as funções f_1 e f_2 são linearmente dependentes se existirem escalares a e b, não ambos nulos, tais que
a\,f_1(x) + b\,f_2(x) = 0 \quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Caso contrário (isto é, só exista a solução trivial a=b=0), elas são linearmente independentes.

Passo 3

Suponha que existam a,b\in\mathbb{R} tais que
a\cos(x) + b\operatorname{sen}(x) = 0 \quad\forall\,x\in\mathbb{R}.
Para x=0 temos a\cos(0)+b\operatorname{sen}(0)=a\cdot1+b\cdot0=0, logo a=0.
Para x=\tfrac{\pi}{2} temos a\cos(\tfrac{\pi}{2})+b\operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{2})=0\cdot a + b\cdot1=0, logo b=0.
Portanto, a única solução é a=b=0, o que mostra que \cos(x) e \operatorname{sen}(x) são linearmente independentes.

Resposta

Falso

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