Exercício 1 (30 pontos) Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.
O conjunto {\cos (x), \operatorname{sen}(x)}) é linearmente dependente em
.
O conjunto {\cos (x), \operatorname{sen}(x)}) é linearmente dependente em
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto de funções
é linearmente dependente no espaço vetorial
. O conteúdo aqui é a definição de dependência linear de funções.
Passo 2
Lembrando a definição: dizemos que as funções
e
são linearmente dependentes se existirem escalares
e
, não ambos nulos, tais que
Caso contrário (isto é, só exista a solução trivial
), elas são linearmente independentes.
Passo 3
Suponha que existam
tais que
Para
temos
, logo
.
Para temos
, logo
.
Portanto, a única solução é , o que mostra que
e
são linearmente independentes.
Para
Portanto, a única solução é
Resposta
Falso