Seja u=(0,2,2) e v=(1,3,1). Quais dos vetores abaixo pertencem a \operatorname{span}\{u, v\} ? Para cada um, encontre (se existirem) \alpha, \beta \in \mathbb{R} tais que \alpha u+\beta v seja o vetor dado.
(2,2,2)

Passo 1

O enunciado dá os vetores
u = (0,2,2),\quad v = (1,3,1)
e pede para verificar se o vetor
w = (2,2,2)
está em \operatorname{span}\{u,v\}. Isso significa achar \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
\alpha\,u + \beta\,v = w.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear coordenada a coordenada, obtemos o sistema
\begin{cases} 0\cdot\alpha + 1\cdot\beta = 2,\\\\ 2\alpha + 3\beta = 2,\\\\ 2\alpha + 1\beta = 2. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação vem
\beta = 2.
Substituindo em 2\alpha + 3\beta = 2
2\alpha + 3\cdot 2 = 2 \quad\Longrightarrow\quad 2\alpha + 6 = 2 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = -2.

Passo 4

Para ser consistente, a terceira equação também teria de valer com \alpha=-2 e \beta=2:
2\alpha + \beta = 2 \quad\Longrightarrow\quad 2\cdot(-2) + 2 = -2 \neq 2.
Como a terceira equação falha, não existe par (\alpha,\beta) que resolva todo o sistema.

Resposta

O vetor (2,2,2) não pertence a \operatorname{span}\{u,v\}.

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