Exercício 24 (Equações paramétricas) Considere-se o espaço munido de um sistema de coordenadas ortonormais (O ; imath, jmath, k). Sejam s, t in R parâmetros reais. Considere-se o plano com equação geral (P): x-2 y+3 z=-5; considerem-se o plano ( Q ) e a reta (R) com as respectivas representações paramétricas
(Q):l x=-2+s+2 t y=-s-2 t z=-1-s+3 t (s, t in R) (R):l x=-2+t y=-t z=-1-t (t in R)
Considerem-se os pontos M=(-1 ; 2 ; 3), N=(1 ;-2 ; 9).
24.3 Determinar as posições relativas das retas (M N) e (R).

Passo 1

Temos duas retas no espaço:
– A reta (MN) que passa pelos pontos M=(-1,2,3) e N=(1,-2,9).
– A reta (R) dada pela parametrização
(R): x=-2+t, y=-t, z=-1-t, ;tinR
O objetivo é decidir se elas são coincidentes, paralelas, concorrentes (intersectam) ou reversas (skew).

Passo 2

Encontramos o vetor diretor de (MN). Como
MN=N-M=(1-(-1),,-2-2,,9-3)=(2,,-4,,6),
uma parametrização de (MN) é
(MN):vec r(lambda)=(-1,2,3)+lambda,(2,-4,6), lambdainR,
de modo que seu vetor diretor é vec v=(2,-4,6).

Passo 3

O vetor diretor de (R) é vec u=(1,-1,-1). Para serem paralelas precisaríamos de um k tal que vec u=k,vec v, ou seja
(1,-1,-1)=k,(2,-4,6)
Isso levaria a 1=2k e -1=-4k, que dão k=tfrac12 e k=tfrac14, impossível. Logo, não são paralelas.

Passo 4

Para ver se intersectam, igualamos as parametrizações:
(-1,2,3)+lambda,(2,-4,6)=(-2,0,-1)+t,(1,-1,-1)
Isso gera o sistema
-1+2lambda=-2+t, 2-4lambda= -t, 3+6lambda= -1-t
Das duas primeiras equações vem lambda=tfrac32 e t=4, mas isso não satisfaz a terceira (pois 3+6cdottfrac32=12neq -1-4). Não há solução comum, portanto não se intersectam.

Resposta

As retas (MN) e (R) são reversas (não são paralelas e não se interceptam).

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