Exercício 23. Calcule
, onde
a região limitada por
,
e
.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral dupla
onde
é a região limitada pelas curvas
,
e
.
Informações dadas e o que o problema pede:
- A região
é delimitada por: - a reta inferior
, - a reta vertical
, - a reta diagonal
.
- a reta inferior
- É preciso calcular a integral dupla de
sobre essa região .
Passo 2
Descrever a região
explicitamente com desigualdades (isso ajuda a montar os limites da integral iterada).
As interseções das curvas mostram que
é o triângulo com vértices em
,
e
. Em termos de variáveis:
Explicando: para cada
entre
e
, o
varia da linha
até a linha
.
Passo 3
Escolher a ordem de integração e escrever a integral iterada.
Aqui é natural integrar primeiro em
(fatias verticais), pois para
fixo os limites de
ficam simples. Assim:
Observação importante sobre integrabilidade: a função
é positiva em
(salvo no ponto
onde o denominador zera). Como a função é não-negativa, Tonelli permite escrever a integral dupla como essa integral iterada e tratar possíveis singularidades na fronteira por limites (integral imprópria). Vou usar isso formalmente a seguir (integrando em
sobre
e tomando limite
).
Passo 4
Calcular a integral interna em
:
Fazer a substituição direta para resolver essa integral. Defina a mudança de variável
Quando
temos
. Quando
temos
. Portanto
Essa é uma integral básica do logaritmo; seu valor é
Usando a propriedade dos logaritmos
. Portanto, para todo
a integral interna dá
. (Para
o intervalo de integração degenera e a contribuição é nula; como explicado antes, trata-se por limite.)
Passo 5
Justificar brevemente a troca de ordem de limites / tratamento da singularidade em
.
Como a função é não-negativa em
, Tonelli garante que a integral dupla é a integral iterada e que podemos integrar em
o resultado da integral em
. Alternativamente, considerar a integral sobre a região
para
; para
a integral interna vale
, logo
Tomando
obtemos o valor da integral sobre
como limite
. Isso mostra que a singularidade na fronteira não impede a integrabilidade (é uma integral imprópria convergente).
Passo 6
Calcular a integral externa em
. Já reduzimos a integral dupla a
Como
é constante em relação a
, fatoramos:
Passo 7
Comentário pedagógico e alternativa curta (para fixar a ideia):
Um método alternativo que reforça a técnica é a mudança de variáveis
Nesse caso
,
e o jacobiano tem valor absoluto
. A região
transforma-se em
. A integral torna-se
cuja integral interna também dá
, e daí segue igual ao cálculo anterior. Isso mostra que a substituição
é “a certa” aqui — ela simplifica exatamente o denominador.