Exercício 26: Pesquise e descubra as derivadas de \operatorname{arcsen}(x), \operatorname{arccos} (x) e \operatorname{arctg}(x). Dica: Ver livro do Iezzi, p. 145-H, derivada de função inversa.

Passo 1

O enunciado pede para descobrir as derivadas de \operatorname{arcsen}(x), \operatorname{arccos}(x) e \operatorname{arctg}(x). Informação dada: dica para usar a derivada de função inversa (livro do Iezzi). Não faltam dados adicionais — a tarefa é encontrar as fórmulas das derivadas e indicar onde elas valem.

Passo 2

Vamos lembrar e provar de forma simples a regra da derivada de uma função inversa (isso é o que o enunciado sugere usar). Suponha que y=f^{-1}(x). Isso significa que
x=f(y).
Se f é diferenciável em y e f'(y)\neq 0, podemos diferenciar essa igualdade em relação a x por diferenciação implícita. Derivando ambos os lados em relação a x obtemos:
1 = f'(y)\,\frac{dy}{dx}.
Isolando \dfrac{dy}{dx} temos a fórmula da derivada da inversa:
\frac{dy}{dx} = \bigl(f^{-1}\bigr)'(x)=\frac{1}{f'(y)}.
Aqui é importante explicar o que cada coisa significa:
  • x é a variável independente (onde queremos a derivada da inversa);
  • y=f^{-1}(x) é o valor da função inversa em x;
  • f'(y) é a derivada de f avaliada em y;
  • a fórmula diz: para derivar a inversa em x, derivamos f em y e invertimos o valor.
Se preferir pensar sem o teorema, essa mesma ideia é a diferenciação implícita que vamos usar nos casos trigonométricos: escrevemos x em função de y (onde y é a função inversa) e derivamos.

Passo 3

Derivada de \operatorname{arcsen}(x).
Defina
y=\operatorname{arcsen}(x).
Por definição de função inversa temos
x=\sin y.
Diferenciando implicitamente em relação a x:
1=\cos y\cdot\frac{dy}{dx}.
Logo
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y}.
Mas essa expressão ainda está em termos de y. Para escrever em termos de x usamos a identidade trigonométrica básica
\sin^{2}y+\cos^{2}y=1.
Como \sin y = x, temos
\cos^{2}y=1-\sin^{2}y=1-x^{2}.
Agora \cos y=\sqrt{1-x^{2}} ou \cos y=-\sqrt{1-x^{2}}. Precisamos escolher o sinal correto usando o intervalo principal de \operatorname{arcsen}: por definição, \operatorname{arcsen}(x)\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right], e nesse intervalo \cos y\ge 0. Portanto
\cos y= \sqrt{1-x^{2}}\quad\text{(para \(-1<x<1\))}.
Substituindo em \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\cos y} obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arcsen}(x)\bigr)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},\qquad -1<x<1.
Exemplo rápido para fixar: em x=0 temos \dfrac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arcsen}(0)\bigr)=1/\sqrt{1-0}=1.

Passo 4

Derivada de \operatorname{arccos}(x).
Defina
y=\operatorname{arccos}(x).
Então
x=\cos y.
Diferenciando implicitamente em relação a x:
1=-\sin y\cdot\frac{dy}{dx}.
Logo
\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sin y}.
Usamos a identidade \sin^{2}y+\cos^{2}y=1 e \cos y=x para obter
\sin^{2}y=1-x^{2}\quad\Rightarrow\quad \sin y=\sqrt{1-x^{2}}\\ \text{ou}\\\ -\sqrt{1-x^{2}}.
Escolhemos o sinal de \sin y observando o intervalo principal de \operatorname{arccos}: \operatorname{arccos}(x)\in[0,\pi], e nesse intervalo \sin y\ge 0. Portanto \sin y=\sqrt{1-x^{2}} para -1<x<1. Substituindo:
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arccos}(x)\bigr)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},\qquad -1<x<1.
Exemplo: em x=0 temos \dfrac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arccos}(0)\bigr)=-1.

Passo 5

Derivada de \operatorname{arctg}(x) (ou \operatorname{arctan}(x)).
Defina
y=\operatorname{arctg}(x).
Então
x=\tan y.
Diferenciando implicitamente em relação a x:
1=\operatorname{sec}^{2}y\cdot\frac{dy}{dx}.
Logo
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\operatorname{sec}^{2}y}.
Usamos a identidade trigonométrica
\operatorname{sec}^{2}y=1+\tan^{2}y.
Como \tan y=x, segue
\operatorname{sec}^{2}y=1+x^{2}.
Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arctg}(x)\bigr)=\frac{1}{1+x^{2}},\qquad x\in\mathbb{R}.
Exemplo: em x=1 temos \dfrac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arctg}(1)\bigr)=1/(1+1)=\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Observações finais e domínio de validade:
  • As fórmulas para \operatorname{arcsen} e \operatorname{arccos} valem estritamente em -1<x<1. Nos pontos x=\pm 1 a derivada não é finita (a raiz dá zero no denominador).
  • A fórmula para \operatorname{arctg} vale para todo x\in\mathbb{R}.
  • Essas derivações são todas consequência direta da diferenciação implícita e da regra da derivada da inversa explicada no Passo 2; preste atenção ao intervalo principal para escolher o sinal da raiz quando substituir funções trigonométricas.

Resposta

\displaystyle \frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arcsen}(x)\bigr)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},\quad -1<x<1.\n
\displaystyle \frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arccos}(x)\bigr)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},\quad -1<x<1.\n
\displaystyle \frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arctg}(x)\bigr)=\frac{1}{1+x^{2}},\quad x\in\mathbb{R}.

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