Exercício 26: Pesquise e descubra as derivadas de
e
. Dica: Ver livro do Iezzi, p. 145-H, derivada de função inversa.
Passo 1
O enunciado pede para descobrir as derivadas de
,
e
. Informação dada: dica para usar a derivada de função inversa (livro do Iezzi). Não faltam dados adicionais — a tarefa é encontrar as fórmulas das derivadas e indicar onde elas valem.
Passo 2
Vamos lembrar e provar de forma simples a regra da derivada de uma função inversa (isso é o que o enunciado sugere usar). Suponha que
. Isso significa que
Se
é diferenciável em
e
, podemos diferenciar essa igualdade em relação a
por diferenciação implícita. Derivando ambos os lados em relação a
obtemos:
Isolando
temos a fórmula da derivada da inversa:
Aqui é importante explicar o que cada coisa significa:
-
é a variável independente (onde queremos a derivada da inversa); -
é o valor da função inversa em ; -
é a derivada de avaliada em ; - a fórmula diz: para derivar a inversa em
, derivamos em e invertimos o valor.
Se preferir pensar sem o teorema, essa mesma ideia é a diferenciação implícita que vamos usar nos casos trigonométricos: escrevemos
em função de
(onde
é a função inversa) e derivamos.
Passo 3
Derivada de
.
Defina
Por definição de função inversa temos
Diferenciando implicitamente em relação a
:
Logo
Mas essa expressão ainda está em termos de
. Para escrever em termos de
usamos a identidade trigonométrica básica
Como
, temos
Agora
ou
. Precisamos escolher o sinal correto usando o intervalo principal de
: por definição,
, e nesse intervalo
. Portanto
Substituindo em
obtemos
Exemplo rápido para fixar: em
temos
.
Passo 4
Derivada de
.
Defina
Então
Diferenciando implicitamente em relação a
:
Logo
Usamos a identidade
e
para obter
Escolhemos o sinal de
observando o intervalo principal de
:
, e nesse intervalo
. Portanto
para
. Substituindo:
Exemplo: em
temos
.
Passo 5
Derivada de
(ou
).
Defina
Então
Diferenciando implicitamente em relação a
:
Logo
Usamos a identidade trigonométrica
Como
, segue
Portanto
Exemplo: em
temos
.
Passo 6
Observações finais e domínio de validade:
- As fórmulas para
e valem estritamente em . Nos pontos a derivada não é finita (a raiz dá zero no denominador). - A fórmula para
vale para todo . - Essas derivações são todas consequência direta da diferenciação implícita e da regra da derivada da inversa explicada no Passo 2; preste atenção ao intervalo principal para escolher o sinal da raiz quando substituir funções trigonométricas.