Exercício 21 (Cubo) Considere-se um cubo A B C D E F G H de aresta unitária; considere-se um sistema ortonormal de coordenadas cartesianas (A ; A B, A D, A E).
21.4 Determinar as coordenadas do ponto K, interseção da reta (F D) com o plano (B G E).

Passo 1

O enunciado dá um cubo de aresta unitária e um sistema de coordenadas com origem em A e eixos A B, A D, A E. Precisamos encontrar o ponto K em que a reta que passa por F e D intercepta o plano determinado por B, G e E. Para isso, vamos
  1. atribuir coordenadas a todos os vértices,
  2. escrever a equação paramétrica de (F D),
  3. obter a equação do plano (B G E) via normal,
  4. resolver para o parâmetro de interseção e calcular K.

Passo 2

Escolhendo
A=(0,0,0),;B=(1,0,0),;D=(0,1,0),;E=(0,0,1),
segue-se por adjacência
F=B+E=(1,0,1), G=B+D+E=(1,1,1)

Passo 3

A reta (F D) pode ser parametrizada por
vec X(t)=vec D + tl(vec F-vec Dr)
Como vec F-vec D=(1,-1,1) e vec D=(0,1,0), temos em coordenadas
(x,y,z)=(,t,;1-t,;t,), tin R

Passo 4

No plano (BGE) use os vetores
BG=G-B=(0,1,1) e BE=E-B=(-1,0,1).
O normal é
vec n=BGtimesBE=(1,-1,1)
A equação do plano vem de vec ncdotl((x,y,z)-Br)=0, ou seja
1cdot(x-1)-1cdot y+1cdot z=0 Longrightarrow x - y + z = 1

Passo 5

Substituindo (x,y,z)=(t,1-t,t) na equação do plano:
t - (1-t) + t = 1 ;Longrightarrow; 3t - 1 = 1 ;Longrightarrow; t = tfrac23
Logo
K=l(t,,1-t,,tr)|t=23 =l(tfrac23,,tfrac13,,tfrac23r)

Resposta

As coordenadas de K são l(tfrac23,,tfrac13,,tfrac23r).

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