Exercício 24 (Equações paramétricas) Considere-se o espaço munido de um sistema de coordenadas ortonormais . Sejam parâmetros reais. Considere-se o plano com equação geral ; considerem-se o plano ( ) e a reta com as respectivas representações paramétricas
Considerem-se os pontos M=(-1 ; 2 ; 3), N=(1 ;-2 ; 9).
24.1 Determinar uma representação paramétrica do plano (P).
Passo 1
O enunciado pede uma representação paramétrica do plano P de equação geral
x - 2y + 3z = -5
Para parametrizar um plano, precisamos de um ponto particular que satisfaça a equação e de dois vetores diretores que gerem o espaço solução da equação homogênea
x - 2y + 3z = 0
Passo 2
Vamos encontrar um ponto A em P. Basta escolher valores para duas variáveis e resolver a equação:
y = 0, z = 0, Longrightarrow x - 2cdot 0 + 3cdot 0 = -5 Longrightarrow x = -5
Logo, um ponto particular é
A = (-5,,0,,0)
Passo 3
Agora achamos dois vetores diretores vec u e vec v que satisfazem
x - 2y + 3z = 0
Para vec u, escolhemos y=1 e z=0, então
x - 2cdot1 + 3cdot0 = 0 Longrightarrow x = 2,
portanto vec u = (2,,1,,0).
Para vec v, escolhemos y=0 e z=1, então
x - 2cdot0 + 3cdot1 = 0 Longrightarrow x = -3,
portanto vec v = (-3,,0,,1).
Passo 4
A representação paramétrica do plano P é dada por
vec r(s,t) = OA + s,vec u + t,vec v (s,tinR),
isto é, em coordenadas,
x = -5 + 2s - 3t, y = ;0 + 1s + 0t = s, z = ;0 + 0s + 1t = t