Exercício 25 (Retas e planos no espaço) Considere-se o espaço munido de um sistema ortonormal (O ; imath, jmath, k) de coordenadas cartesianas. Considerem-se os pontos A(-1 ; 2 ; 0), B(1 ; 2 ; 4), C(-1 ; 1 ; 1).
25.1 Mostrar que os pontos A, B, C não são alinhados. Calcular o produto escalar entre os vetores A B, A C. Determinar a medida do ângulo ang<= B A C.

Passo 1

O enunciado dá três pontos no espaço em um sistema ortonormal:
A(-1,2,0), B(1,2,4), C(-1,1,1).
Preciso mostrar que A,B,C não são alinhados, calcular o produto escalar ABcdotAC e, a partir dele, determinar o ângulo ang<= BAC. Para isso vou usar definição de vetor como diferença de pontos, critério de colinearidade de vetores e fórmula do produto escalar.

Passo 2

Primeiro calculo os vetores AB e AC:
AB = (1-(-1),,2-2,,4-0) = (2,0,4)
AC = (-1-(-1),,1-2,,1-0) = (0,-1,1)
Como não existe escalar k tal que AB=k,AC (por exemplo, o primeiro componente de AB é 2 e o de AC é 0), concluímos que os vetores não são paralelos e, portanto, A,B,C não são alinhados.

Passo 3

Agora calculo o produto escalar:
ABcdotAC = 2cdot0 + 0cdot(-1) + 4cdot1 = 4

Passo 4

Em seguida determino as normas:
|AB| = raiz2^2 + 0^2 + 4^2 = raiz20 = 2raiz5
|AC| = raiz0^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz2
Logo
cosang<= BAC = ABcdotAC|AB|;|AC| = 42raiz5,raiz2 = 2raiz10
e
ang<= BAC = arccos!l(tfrac2raiz10r) approx 50,8^circ

Resposta

Os pontos A,B,C não são alinhados;
ABcdotAC=4;
ang<= BAC = arccos!l(tfrac2raiz10r)approx50,8^circ.

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