Seja
uma transformação linear definida por
Analise se
é um isomorfismo. Caso for, determine
utilizando a definição de
e
numa base;
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear
por
O objetivo é verificar se
é um isomorfismo (isto é, invertível) e, sendo, determinar explicitamente
. Vamos usar matriz na base canônica, cálculo de determinante e resolução de sistema linear.
Passo 2
Escolhemos a base canônica
com
e
. Então
A matriz de
nessa base é
Passo 3
Para verificar se
é invertível, calculamos
Como
, concluímos que
é bijetiva e, portanto, um isomorfismo.
Passo 4
Para achar
Da segunda equação vem (v=\tfrac{y}{2}]. Substituindo na primeira,
]
Passo 5
Reunindo, para qualquer
, a inversa satisfaz
ou seja,
envia
em
conforme esses valores.