Seja T: R^2 R^2 uma transformação linear definida por
T(x, y)=(-x+y, 2 y)
Analise se T é um isomorfismo. Caso for, determine T^-1(x, y) utilizando a definição de T e T^-1 numa base;

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
,TcolonR^2toR^2 por
T(x,y)=(-x+y,;2y)
O objetivo é verificar se T é um isomorfismo (isto é, invertível) e, sendo, determinar explicitamente T^-1. Vamos usar matriz na base canônica, cálculo de determinante e resolução de sistema linear.

Passo 2

Escolhemos a base canônica e1,e2 com
,e1=(1,0) e e2=(0,1). Então
T(e1)=T(1,0)=(-1,0), T(e2)=T(0,1)=(1,2)
A matriz de T nessa base é
A=-1 & 1[6pt]0 & 2 ]

Passo 3

Para verificar se T é invertível, calculamos
det(A)=(-1)cdot2 - 0cdot1 = -2 neq 0
Como det(A)neq0, concluímos que T é bijetiva e, portanto, um isomorfismo.

Passo 4

Para achar
Da segunda equação vem (v=\tfrac{y}{2}]. Substituindo na primeira,
]

Passo 5

Reunindo, para qualquer (x,y), a inversa satisfaz
u=tfracy2-x, v=tfracy2,
ou seja, T^-1 envia (x,y) em ,(u,v) conforme esses valores.

Resposta

T é um isomorfismo e
T^-1(x,y) = l(tfracy2 - x,;tfracy2r)

Exercícios relacionados