Exercício 27 (Equações de planos e de retas) Considere-se o espaço tridimensional munido de um sistema ortonormal (O ; imath, jmath, k) de coordenadas cartesianas.
27.1 Determinar uma equação cartesiana do plano (P) com representação paramétrica
(P):l x=1+s+2 t y=2+s+t z=3 t (s, t in R)

Passo 1

O enunciado nos dá a representação paramétrica do plano (P):
x=1+s+2t, y=2+s+t, z=3t,
com s,tin R. O conteúdo aqui é transformar forma paramétrica em equação cartesiana do plano, e para isso vamos precisar de um ponto do plano e de dois vetores diretores, obtendo o vetor normal por produto vetorial.

Passo 2

Para s=0 e t=0 obtemos o ponto
P0=(1,2,0)
O vetor diretor associado a s é
vec v=(1,1,0)
e o associado a t é
vec w=(2,1,3)

Passo 3

O vetor normal vec n ao plano é dado por
vec n = vec v times vec w = vec imath & vec jmath & vec k 1 & 1 & 0 2 & 1 & 3 =3,vec imath - 3,vec jmath -1,vec k,
ou seja vec n=(3,-3,-1).

Passo 4

A equação vetorial do plano é
vec n cdot l((x,y,z)-P0r)=0,
isto é
(3,-3,-1)cdotl((x,y,z)-(1,2,0)r)=0

Passo 5

Fazendo o produto escalar e simplificando:
3(x-1)-3(y-2)-1(z-0)=0
3x-3-3y+6-z=0
3x-3y - z +3 = 0

Resposta

A equação cartesiana do plano (P) é
3x-3y - z + 3 = 0

Exercícios relacionados