Exercício 23. A anemia pode ser encontrada em 25 \% das crianças em idade escolar, do ensino “maternal”. Suponha que em uma sala seja composta por 20 alunos, responda: Duas crianças são selecionadas,
Sem reposição, qual é a probabilidade de ambas não possuírem anemia?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
  • Informação: a prevalência de anemia é 25\% entre crianças em idade escolar (isto é, em média 25\% das crianças têm anemia).
  • Informação: a sala tem 20 alunos.
  • Informação: serão selecionadas 2 crianças sem reposição (ou seja, a segunda seleção é feita a partir da turma já com uma criança retirada).
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que ambas as crianças selecionadas não possuam anemia?
Além disso, a partir das informações acima podemos obter números úteis que usaremos depois:
\text{o número esperado de crianças com anemia na sala} = 0,25\cdot 20 = 5,úç
logo o número de crianças sem anemia na sala é
20-5=15.

Passo 2

Estratégia (explicação didática do método): como a seleção é sem reposição, a probabilidade de a segunda criança não ter anemia depende do que aconteceu na primeira. Existem duas formas equivalentes de calcular a probabilidade:
  1. Método combinatório (hipergeométrico): contar de quantas maneiras podemos escolher 2 crianças sem anemia entre as 15 disponíveis, e dividir pelo número total de maneiras de escolher 2 crianças entre as 20 da sala. A ideia é: se todas as duplas são igualmente prováveis, a probabilidade de escolher uma dupla totalmente sem anemia é
\frac{\binom{15}{2}}{\binom{20}{2}}.
Aqui \binom{n}{k} (lê-se “n escolhe k”) é o número de combinações de n elementos tomados k a k, e a fórmula é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) significa n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot 1. Ex.: 5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120.
  1. Método multiplicativo (probabilidades condicionais): calcular a probabilidade passo a passo. A probabilidade de a primeira criança não ter anemia é \dfrac{15}{20}. Como não há reposição, se a primeira não tem anemia restam 14 crianças sem anemia em 19 crianças restantes; então a probabilidade de a segunda também não ter anemia, dado que a primeira não tinha, é \dfrac{14}{19}. Pela regra do produto:
\text{probabilidade}=\frac{15}{20}\cdot\frac{14}{19}.
Vou executar ambos para mostrar que dão o mesmo resultado.

Passo 3

Cálculo pelo método combinatório (detalhado):
Calcule \binom{15}{2}. Usando a fórmula simplificada para k=2,
\binom{15}{2}=\frac{15\cdot14}{2}= \frac{210}{2}=105.
Calcule \binom{20}{2}:
\binom{20}{2}=\frac{20\cdot19}{2}=\frac{380}{2}=190.
Portanto a probabilidade é
\frac{\binom{15}{2}}{\binom{20}{2}}=\frac{105}{190}.
Podemos simplificar dividindo por 5:
\frac{105}{190}=\frac{21}{38}.

Passo 4

Cálculo pelo método multiplicativo (detalhado) para confirmar:
Primeira escolha (não ter anemia): \dfrac{15}{20}.
Segunda escolha (não ter anemia dado que a primeira não tinha): \dfrac{14}{19}.
Produto:
\frac{15}{20}\cdot\frac{14}{19}=\frac{15\cdot14}{20\cdot19}=\frac{210}{380}.
Simplificando \frac{210}{380} dividindo por 10 \frac{21}{38}, que é exatamente o mesmo resultado do passo anterior. Boa sinal: os dois métodos coincidem.

Passo 5

Interpretação numérica e arredondamento:
O valor exato é \dfrac{21}{38}. Em forma decimal isso é aproximadamente
\frac{21}{38}\approx 0,5526315789,
ou seja, cerca de 55,26\%. Isso significa que, dadas as suposições do enunciado, a chance de ambas as crianças selecionadas não terem anemia é pouco maior que a metade.

Resposta

\dfrac{21}{38}
0,5526315789
55,26\%

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