Exercício 23. A anemia pode ser encontrada em
das crianças em idade escolar, do ensino “maternal”. Suponha que em uma sala seja composta por 20 alunos, responda: Duas crianças são selecionadas,
Sem reposição, qual é a probabilidade de ambas não possuírem anemia?
Sem reposição, qual é a probabilidade de ambas não possuírem anemia?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
- Informação: a prevalência de anemia é
entre crianças em idade escolar (isto é, em média das crianças têm anemia). - Informação: a sala tem
alunos. - Informação: serão selecionadas
crianças sem reposição (ou seja, a segunda seleção é feita a partir da turma já com uma criança retirada). - Pergunta: qual é a probabilidade de que ambas as crianças selecionadas não possuam anemia?
Além disso, a partir das informações acima podemos obter números úteis que usaremos depois:
logo o número de crianças sem anemia na sala é
Passo 2
Estratégia (explicação didática do método): como a seleção é sem reposição, a probabilidade de a segunda criança não ter anemia depende do que aconteceu na primeira. Existem duas formas equivalentes de calcular a probabilidade:
- Método combinatório (hipergeométrico): contar de quantas maneiras podemos escolher
crianças sem anemia entre as disponíveis, e dividir pelo número total de maneiras de escolher crianças entre as da sala. A ideia é: se todas as duplas são igualmente prováveis, a probabilidade de escolher uma dupla totalmente sem anemia é
Aqui
(lê-se “n escolhe k”) é o número de combinações de
elementos tomados
a
, e a fórmula é
onde
(fatorial) significa
. Ex.:
.
- Método multiplicativo (probabilidades condicionais): calcular a probabilidade passo a passo. A probabilidade de a primeira criança não ter anemia é
. Como não há reposição, se a primeira não tem anemia restam crianças sem anemia em crianças restantes; então a probabilidade de a segunda também não ter anemia, dado que a primeira não tinha, é . Pela regra do produto:
Vou executar ambos para mostrar que dão o mesmo resultado.
Passo 3
Cálculo pelo método combinatório (detalhado):
Calcule
. Usando a fórmula simplificada para
,
Calcule
:
Portanto a probabilidade é
Podemos simplificar dividindo por
:
Passo 4
Cálculo pelo método multiplicativo (detalhado) para confirmar:
Primeira escolha (não ter anemia):
.
Segunda escolha (não ter anemia dado que a primeira não tinha):
.
Produto:
Simplificando
dividindo por
dá
, que é exatamente o mesmo resultado do passo anterior. Boa sinal: os dois métodos coincidem.
Passo 5
Interpretação numérica e arredondamento:
O valor exato é
. Em forma decimal isso é aproximadamente
ou seja, cerca de
. Isso significa que, dadas as suposições do enunciado, a chance de ambas as crianças selecionadas não terem anemia é pouco maior que a metade.