Seja
f(x, y)= raizx^2+y^2+1, & se x^2+y^2<1 0, & se x^2+y^2 >= 1
Calcular, se existirem,
partial fpartial x(0,1), partial fpartial y(1,0), e partial fpartial y(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= raizx^2+y^2+1,&se x^2+y^2<1, 0,&se x^2+y^2>=1,
e pede as derivadas parciais partial fpartial x(0,1), partial fpartial y(1,0) e partial fpartial y(0,0). Vamos usar a definição de derivada parcial via limite de diferença quociente, observando que nos pontos em que x^2+y^2=1 a função está na segunda parte (igual a zero) e em (0,0) está na primeira parte (raiz).

Passo 2

Cálculo de partial fpartial x(0,1). Pela definição:
partial fpartial x(0,1) =limhto0f(0+h,1)-f(0,1)h
Note que f(0,1)=0 pois 0^2+1^2=1>=1. Para todo h suficientemente pequeno, (h,1) também satisfaz h^2+1>1, logo f(h,1)=0. Então
f(h,1)-f(0,1)h=0-0h=0
e o limite é
partial fpartial x(0,1)=0

Passo 3

Cálculo de partial fpartial y(1,0). Similarmente:
partial fpartial y(1,0) =limkto0f(1,0+k)-f(1,0)k
Temos f(1,0)=0 e para todo k pequeno 1^2+k^2>1, logo f(1,k)=0. Assim
f(1,k)-f(1,0)k=0-0k=0
e
partial fpartial y(1,0)=0

Passo 4

Cálculo de partial fpartial y(0,0). Aqui (0,0) satisfaz 0^2+0^2<1, então usamos a expressão raizx^2+y^2+1. A derivada parcial é
partial fpartial y(x,y) =partialpartial yraizx^2+y^2+1 =12(x^2+y^2+1)^-tfrac12cdot 2y =yraizx^2+y^2+1
Avaliada em (0,0), dá
partial fpartial y(0,0) =0raiz0+0+1=0

Resposta

partial fpartial x(0,1)=0, partial fpartial y(1,0)=0, partial fpartial y(0,0)=0.

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