e pede as derivadas parciais partial fpartial x(0,1), partial fpartial y(1,0) e partial fpartial y(0,0). Vamos usar a definição de derivada parcial via limite de diferença quociente, observando que nos pontos em que x^2+y^2=1 a função está na segunda parte (igual a zero) e em (0,0) está na primeira parte (raiz).
Passo 2
Cálculo de partial fpartial x(0,1). Pela definição:
partial fpartial x(0,1) =limhto0f(0+h,1)-f(0,1)h
Note que f(0,1)=0 pois 0^2+1^2=1>=1. Para todo h suficientemente pequeno, (h,1) também satisfaz h^2+1>1, logo f(h,1)=0. Então
f(h,1)-f(0,1)h=0-0h=0
e o limite é
partial fpartial x(0,1)=0
Passo 3
Cálculo de partial fpartial y(1,0). Similarmente:
partial fpartial y(1,0) =limkto0f(1,0+k)-f(1,0)k
Temos f(1,0)=0 e para todo k pequeno 1^2+k^2>1, logo f(1,k)=0. Assim
f(1,k)-f(1,0)k=0-0k=0
e
partial fpartial y(1,0)=0
Passo 4
Cálculo de partial fpartial y(0,0). Aqui (0,0) satisfaz 0^2+0^2<1, então usamos a expressão raizx^2+y^2+1. A derivada parcial é