Exercício 22. Uma fábrica produz componetes eletrônicos para uso em circuitos em duas versões: Uma versão A com processo de produção mais avançado e materiais de maior qualidade e uma versão mais barata B, sem um controle de qualidade rígido e com materiais mais baratos. A fábrica garante os componentes do tipo A estão dentro das especificações 99 \% das vezes, enquanto a proporção dos componentes do tipo B dentro das especificações é de 85 \%.
Sabe-se que 80 \% dos componentes produzidos pela fábrica são da versão A. Um componente aleatório produzido pela fábrica é selecionado e verifica-se que está fora das especificações, encontre a probabilidade de que ele seja do tipo A.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Dados (retirados do enunciado):
    • A fábrica tem duas versões: versão A e versão B.
    • Proporção produzida: 80\% dos componentes são da versão A (logo 20\% são da versão B).
    • Probabilidade de estar dentro das especificações:
      • para a versão A: 99\%;
      • para a versão B: 85\%.
  • O que foi observado: um componente aleatório foi selecionado e verifica-se que está fora das especificações.
  • O que é pedido: encontrar a probabilidade de que o componente observado seja da versão A, dado que está fora das especificações.

Passo 2

Definir eventos e traduzir as informações em probabilidades (cada símbolo explicado):
  • Seja A o evento “o componente é da versão A”.
  • Seja B o evento “o componente é da versão B”.
  • Seja O o evento “o componente está fora das especificações”.
As probabilidades dadas se traduzem em:
P(A)=0{,}80,\qquad P(B)=0{,}20.
A fábrica garante que 99\% dos A estão dentro das especificações; portanto a probabilidade de estar fora dado A é
P(O\mid A)=1-0{,}99=0{,}01.
Análogo para B: 85\% dentro implica
P(O\mid B)=1-0{,}85=0{,}15.

Passo 3

Calcular a probabilidade total de escolher um componente fora das especificações, P(O), usando a soma ponderada das contribuições de A e B (regra da probabilidade total):
P(O)=P(O\mid A)P(A)+P(O\mid B)P(B).
Substituindo os números:
P(O)=0{,}01\cdot0{,}80 + 0{,}15\cdot0{,}20.
Calcule termo a termo:
0{,}01\cdot0{,}80=0{,}008,\qquad 0{,}15\cdot0{,}20=0{,}030,
logo
P(O)=0{,}008+0{,}030=0{,}038.

Passo 4

Aplicar a fórmula que dá a probabilidade buscada: probabilidade de ser A sabendo que está fora das especificações, isto é P(A\mid O). A fórmula é
P(A\mid O)=\frac{P(O\mid A)P(A)}{P(O)}.
Substituindo:
P(A\mid O)=\frac{0{,}01\cdot0{,}80}{0{,}038}=\frac{0{,}008}{0{,}038}.
Simplificando a fração (multiplicando numerador e denominador por 1000 fica 8/38, que reduz para 4/19):
P(A\mid O)=\frac{4}{19}\approx0{,}2105.
Em porcentagem:
P(A\mid O)\approx21{,}05\%.

Passo 5

Interpretação intuitiva (método por contagem, útil na prova): imagine 1000 componentes:
  • 800 são A; destes 1\% ficam fora \Rightarrow 0{,}01\cdot800=8 componentes A fora.
  • 200 são B; destes 15\% ficam fora \Rightarrow 0{,}15\cdot200=30 componentes B fora.
    Total fora = 8+30=38. Probabilidade de um fora ser A = 8/38=4/19, que coincide com o cálculo anterior. Esse raciocínio por “contagem” costuma ser mais fácil de entender na hora da prova.

Resposta

\dfrac{4}{19}\approx0{,}2105 \left(21{,}05\%\right)

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