Exercício 22. Uma fábrica produz componetes eletrônicos para uso em circuitos em duas versões: Uma versão A com processo de produção mais avançado e materiais de maior qualidade e uma versão mais barata
, sem um controle de qualidade rígido e com materiais mais baratos. A fábrica garante os componentes do tipo
estão dentro das especificações
das vezes, enquanto a proporção dos componentes do tipo
dentro das especificações é de
.
Sabe-se que
dos componentes produzidos pela fábrica são da versão A. Um componente aleatório produzido pela fábrica é selecionado e verifica-se que está fora das especificações, encontre a probabilidade de que ele seja do tipo
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
- Dados (retirados do enunciado):
- A fábrica tem duas versões: versão
e versão . - Proporção produzida:
dos componentes são da versão (logo são da versão ). - Probabilidade de estar dentro das especificações:
- para a versão
: ; - para a versão
: .
- para a versão
- A fábrica tem duas versões: versão
- O que foi observado: um componente aleatório foi selecionado e verifica-se que está fora das especificações.
- O que é pedido: encontrar a probabilidade de que o componente observado seja da versão
, dado que está fora das especificações.
Passo 2
Definir eventos e traduzir as informações em probabilidades (cada símbolo explicado):
- Seja
o evento “o componente é da versão ”. - Seja
o evento “o componente é da versão ”. - Seja
o evento “o componente está fora das especificações”.
As probabilidades dadas se traduzem em:
A fábrica garante que
dos
estão dentro das especificações; portanto a probabilidade de estar fora dado
é
Análogo para
:
dentro implica
Passo 3
Calcular a probabilidade total de escolher um componente fora das especificações,
, usando a soma ponderada das contribuições de
e
(regra da probabilidade total):
Substituindo os números:
Calcule termo a termo:
logo
Passo 4
Aplicar a fórmula que dá a probabilidade buscada: probabilidade de ser
sabendo que está fora das especificações, isto é
. A fórmula é
Substituindo:
Simplificando a fração (multiplicando numerador e denominador por
fica
, que reduz para
):
Em porcentagem:
Passo 5
Interpretação intuitiva (método por contagem, útil na prova): imagine
componentes:
-
são ; destes ficam fora componentes fora. -
são ; destes ficam fora componentes fora.
Total fora =. Probabilidade de um fora ser = , que coincide com o cálculo anterior. Esse raciocínio por “contagem” costuma ser mais fácil de entender na hora da prova.