Exercício 21 : Resolva
4^{x}-3 \cdot 2^{x}+2=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
4^{x} - 3 \cdot 2^{x} + 2 = 0.
O conteúdo principal aqui é transformar essa equação em uma equação polinomial usando a propriedade 4^{x} = (2^{2})^{x} = 2^{2x}. Em seguida, vamos usar a substituição y = 2^{x} para obter uma equação quadrática em y.

Passo 2

Fazendo y = 2^{x}, temos y>0 e
4^{x} = 2^{2x} = (2^{x})^{2} = y^{2}.
Substituindo na equação original, obtemos
y^{2} - 3y + 2 = 0.

Passo 3

Agora resolvemos a equação quadrática
y^{2} - 3y + 2 = 0.
Podemos fatorar:
y^{2} - 3y + 2 = (y - 1)(y - 2) = 0,
logo as raízes são
y = 1 \quad\text{ou}\quad y = 2.

Passo 4

Voltando à substituição y = 2^{x}, obtemos dois casos:
  1. 2^{x} = 1. Como 2^{0}=1, segue x = 0.
  2. 2^{x} = 2. Como 2^{1}=2, segue x = 1.

Resposta

As soluções da equação são x = 0 e x = 1.

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