Exercício 39 : Utilize a mudança de base para calcular:
\log _{9} 27

Passo 1

O enunciado pede para calcular \log_{9}27. O conteúdo é mudança de base em logaritmos, usando a fórmula que relaciona logaritmos de diferentes bases e as propriedades de potências.

Passo 2

Usamos a fórmula de mudança de base:
\log_{a}b \;=\;\frac{\ln b}{\ln a}.
Aplicando em a=9 e b=27 temos
\log_{9}27 \;=\;\frac{\ln 27}{\ln 9}.

Passo 3

Agora, escrevemos 27 e 9 como potências de 3:
27 = 3^{3} \quad\text{e}\quad 9 = 3^{2}.
Pela propriedade \ln(x^{k})=k\,\ln x, obtemos
\ln 27 = \ln\bigl(3^{3}\bigr)=3\,\ln 3, \quad \ln 9 = \ln\bigl(3^{2}\bigr)=2\,\ln 3.

Passo 4

Substituindo na fração da mudança de base:
\log_{9}27 =\frac{3\,\ln 3}{2\,\ln 3} =\frac{3}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}

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