Exercício 21 Suponha que
seja uma função homogênea tal que
(a) Qual o signficado geométrico de (1)?
(b) Mostre que
, para qualquer
.
(b) Mostre que
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função homogênea f: ℝ²→ℝ tal que f(a,b)=0 para todo (a,b) que satisfaz a²+b²=1. O conteúdo é funções homogêneas e geometria do círculo, e vamos precisar da definição de homogeneidade e da forma de parametrizar um ponto genérico em ℝ².
Passo 2
A equação a² + b² = 1 define geometricamente o círculo unitário centrado na origem. Então f(zero) em todo ponto desse círculo significa que o valor de f anula-se em todas as direções normalizadas a comprimento 1.
Passo 3
Por definição, f é homogênea de algum grau k se, para todo t∈ℝ e todo (x,y) em ℝ², valem
Isso significa que ao escalar as coordenadas por t, o valor de f escala por t^k.
Passo 4
Para mostrar que f(x,y)=0 para qualquer (x,y)≠(0,0), escrevemos (x,y)=r(a,b), em que
Como f(a,b)=0 por hipótese, aplicamos homogeneidade:
Passo 5
No caso trivial (x,y)=(0,0), muitas definições de homogeneidade forçam f(0,0)=0 ou podemos defini-lo assim. Portanto f(x,y)=0 para todo ponto em ℝ².
Resposta
f(x,y)=0 para qualquer (x,y) em ℝ².