Exercício 21 Suponha que f: R^2 R seja uma função homogênea tal que
f(a, b)=0, forall(a, b) in R^2 tal que a^2+b^2=1
(a) Qual o signficado geométrico de (1)?
(b) Mostre que f(x, y)=0, para qualquer (x, y) in R^2.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função homogênea f: ℝ²→ℝ tal que f(a,b)=0 para todo (a,b) que satisfaz a²+b²=1. O conteúdo é funções homogêneas e geometria do círculo, e vamos precisar da definição de homogeneidade e da forma de parametrizar um ponto genérico em ℝ².

Passo 2

A equação a² + b² = 1 define geometricamente o círculo unitário centrado na origem. Então f(zero) em todo ponto desse círculo significa que o valor de f anula-se em todas as direções normalizadas a comprimento 1.

Passo 3

Por definição, f é homogênea de algum grau k se, para todo t∈ℝ e todo (x,y) em ℝ², valem
f(t x, t y)=t^kf(x,y)
Isso significa que ao escalar as coordenadas por t, o valor de f escala por t^k.

Passo 4

Para mostrar que f(x,y)=0 para qualquer (x,y)≠(0,0), escrevemos (x,y)=r(a,b), em que
r=raizx^2+y^2,(a,b)está no círculo unidade áí
Como f(a,b)=0 por hipótese, aplicamos homogeneidade:
f(x,y)=f(r a,r b)=r^kf(a,b)=r^kcdot0=0

Passo 5

No caso trivial (x,y)=(0,0), muitas definições de homogeneidade forçam f(0,0)=0 ou podemos defini-lo assim. Portanto f(x,y)=0 para todo ponto em ℝ².

Resposta

f(x,y)=0 para qualquer (x,y) em ℝ².

Exercícios relacionados