Verifique se a equação dada é linear. Se for, resolva:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação$ (x+4y^2),dy + 2y,dx = 0 $ é linear e, em caso afirmativo, resolvê-la. O conteúdo aqui é equação diferencial de primeira ordem, e vamos precisar reconhecer em qual variável podemos tratá-la como linear.
Passo 2
Reescrevemos a equação como uma equação em
. Dividindo tudo por
e isolando
, temos:
Essa é da forma clássica
, com
e
.
Passo 3
Calculamos o fator integrante
a partir de
. Aqui
Passo 4
Multiplicamos a equação por
. O lado esquerdo vira derivada do produto e o lado direito é integrado:
Integrando em relação a
:
Passo 5
Isolamos
dividindo por
:
Resposta
x(y) = -\frac{4}{5}y^2 + C,y^{-1/2}