Verifique se a equação dada é linear. Se for, resolva:

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação$ (x+4y^2),dy + 2y,dx = 0 $ é linear e, em caso afirmativo, resolvê-la. O conteúdo aqui é equação diferencial de primeira ordem, e vamos precisar reconhecer em qual variável podemos tratá-la como linear.

Passo 2

Reescrevemos a equação como uma equação em x(y). Dividindo tudo por dy e isolando dx/dy, temos:
dxdy + 12y,x = -2y
Essa é da forma clássica x' + P(y)x = Q(y), com P(y)=1/(2y) e Q(y)=-2y.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(y) a partir de mu(y)=expl(integral P(y),dyr). Aqui
mu(y)=expl(integral 12y,dyr)=expl(tfrac12ln yr)=y^1/2

Passo 4

Multiplicamos a equação por mu(y)=y^1/2. O lado esquerdo vira derivada do produto e o lado direito é integrado:
ddyl(y^1/2xr)=y^1/2l(-2yr)=-2y^3/2
Integrando em relação a y:
y^1/2x = integral -2y^3/2,dy = -45y^5/2 + C

Passo 5

Isolamos x dividindo por y^1/2:
x = -45y^2 + C,y^-1/2

Resposta

x(y) = -\frac{4}{5}y^2 + C,y^{-1/2}

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