Exercício 22

Definição 1 Sejam f uma função com dominíno Df R^2 e A subset Df. Dizemos que f é um ponto de mínimo de A em f(x0, y0) <= f(x, y), forall(x, y) in A se vale
f: R^2 R
(a) Qual deve ser a definição de ponto de máximo?
(b) Sejam f(x, y)=2 x+y dada por A=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2=1 e o conjunto
f
Utilizando argumentos geométricos, determine, caso existam, os valores máximo e mínimo de A em .

Passo 1

O exercício pede (a) definir ponto de máximo analogamente ao mínimo e (b) encontrar, para a função f(x,y)=2x+y restrita ao círculo A: x²+y²=1, os valores máximo e mínimo usando geometria (produto escalar e desigualdade de Cauchy-Schwarz).

Passo 2

Para ponto de máximo em A definimos da mesma forma que no mínimo, mas invertendo a desigualdade: (x₀,y₀)∈A é ponto de máximo de f em A se vale f(x₀,y₀) ≥ f(x,y) para todo (x,y)∈A.

Passo 3

Observamos que f(x,y)=2x+y pode ser escrito como produto escalar entre o vetor v=(2,1) e o ponto (x,y). Como (x,y) está em A, temos ||(x,y)||=1. Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz:
|lang<= v,(x,y)rang<=| <= ||v||,||(x,y)|| = raiz2^2+1^2cdot1 = raiz5

Passo 4

A igualdade em Cauchy-Schwarz ocorre quando (x,y) é paralelo a v. Assim o valor máximo de f é +√5, alcançado em (x,y)=v/||v||=(2/√5,1/√5), e o mínimo é –√5, em (x,y)=–v/||v||=(–2/√5,–1/√5).

Resposta

(a) Dizemos que (x₀,y₀)∈A é ponto de máximo de f se f(x₀,y₀) ≥ f(x,y) para todo (x,y)∈A.
(b) Sobre A: valor máximo f=√5 em (2/√5,1/√5) e valor mínimo f=–√5 em (–2/√5,–1/√5).

Exercícios relacionados