Verifique se a equação dada é linear. Se for, resolva:
cos x d yd x+y sen x=1

Passo 1

A equação dada é cos x,dydx+y,sin x=1. Trata-se de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. O objetivo é verificar se ela é linear e, se for, aplicarmos o método de fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Para testar a linearidade, colocamos a EDO na forma padrão dydx+P(x)y=Q(x). Dividindo toda a equação por cos x, obtemos:
dydx+tan x,y=sec x
Isso mostra que ela é linear, com P(x)=tan x e Q(x)=sec x.

Passo 3

O fator integrante é dado por mu(x)=e^integral P(x),dx. Calculamos:
mu(x)=e^integraltan x,dx=e^-ln|cos x|=1cos x=sec x
Multiplicando a forma padrão por mu(x)=sec x, o lado esquerdo vira a derivada de y,sec x:
sec x,dydx+y,sec xtan x=ddxl(y,sec xr),
e o lado direito fica sec xcdotsec x=sec^2 x.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados:
ddxl(y,sec xr)=sec^2 x
integralddxl(y,sec xr),dx=integralsec^2 x,dx
y,sec x=tan x+C
Por fim, isolamos y:
y(x)=cos xl(tan x+Cr)=sin x+Ccos x

Resposta

y(x)=\sin x+C\cos x

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