Verifique se a equação dada é linear. Se for, resolva:

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação (1 - x^3),dydx = 3x^2y é linear e, em caso afirmativo, resolvê-la; trata-se de uma equação diferencial de primeira ordem em que a incógnita é y=y(x).

Passo 2

Vamos passar a equação para a forma padrão de uma ED linear de primeira ordem, ou seja, dydx + P(x)y = Q(x). Dividindo ambos os lados por 1 - x^3 (supondo x^3neq1) obtemos:
dydx - 3x^21 - x^3,y = 0
Aqui temos P(x) = -tfrac3x^21 - x^3 e Q(x)=0. Como Q(x)=0, a equação é homogênea e linear.

Passo 3

O próximo passo é calcular o fator integrante mu(x) = expl(integral P(x),dxr). Então:
integral P(x),dx = -integral 3x^21 - x^3,dx

Passo 4

Para resolver essa integral fazemos a substituição u = 1 - x^3, logo du = -3x^2dx. Assim:
-integral 3x^21 - x^3,dx = -integral -duu = integral duu = ln|u| = ln|1 - x^3|

Passo 5

Logo o fator integrante é
mu(x) = e^ln|1 - x^3| = |1 - x^3|,
e podemos tomar mu(x)=1 - x^3 (descartando a barra de valor absoluto para manter a simplicidade). Multiplicando a equação original por mu(x) temos:
(1 - x^3)dydx - 3x^2y = 0 Longrightarrow ddxl[(1 - x^3)yr]=0

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a x:
(1 - x^3)y = C,
onde C é a constante de integração. Finalmente, isolando y.

Resposta

y = C1 - x^3

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