Exercício 30. Calcule \iint_{D} x^{-3} d x d y, onde D a região limitada pelas parábolas y=x^{2}, y=2 x^{2}, y^{2}=x e y^{2}=2 x.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas. O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{D} x^{-3}\,dx\,dy,
onde D é a região limitada pelas quatro curvas:
y = x^{2},
y = 2x^{2},
y^{2} = x,
y^{2} = 2x.
As informações relevantes extraídas do enunciado:
As duas primeiras são parábolas que dão y em função de x: y cresce como x^{2} e como 2x^{2}.
As duas últimas podem ser reescritas como curvas em função de y: x = y^{2} e x = \tfrac{1}{2}y^{2} (isto é, parábolas abertas para a direita).
A região D está no primeiro quadrante (pois aparecem y e y^{2} positivos nas interseções relevantes).
O integrando é x^{-3}, que depende só de x e tem singularidade quando x\to 0. É importante verificar que D não atinge valores problemáticos que tornem a integral divergente; isso será esclarecido ao descrever D.
Passo 2
Entender geometricamente a região D e escolher um método eficiente. Observando as equações:
As curvas y = x^{2} e y = 2x^{2} correspondem a valores constantes da razão \dfrac{y}{x^{2}}: para y = kx^{2} temos \dfrac{y}{x^{2}}=k.
As curvas y^{2} = x e y^{2} = 2x correspondem a valores constantes da razão \dfrac{y^{2}}{x}: para y^{2}=c x temos \dfrac{y^{2}}{x}=c.
Isso sugere a substituição que transforma as quatro curvas em retas (constantes) no novo sistema de variáveis: definir
u=\frac{y}{x^{2}},\qquad v=\frac{y^{2}}{x}.
Com essa escolha, as fronteiras de D ficam simplesmente u=1, u=2, v=1, v=2, ou seja, D se transforma num retângulo no plano (u,v). Essa transformação é muito apropriada para integrar porque lida bem com o formato das curvas dadas.
Passo 3
Encontrar a transformação inversa (u,v)\mapsto(x,y). A partir de
u=\frac{y}{x^{2}}\quad\Rightarrow\quad y = u x^{2},
Explicação curta (didática): o jacobiano transforma a área diferencial du\,dv na área diferencial dx\,dy via dx\,dy= \left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| du\,dv. Aqui obtemos uma função simples de u, o que facilita a integral.]
Passo 5
Expressar o integrando x^{-3} em termos de u,v. Como x=v^{1/3}u^{-2/3}, temos