Suponha que \Omega \neq \varnothing. Prove que A \cap B c, A c \cap B e A \cap B formam uma partição de A \cup B.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as três partes
\;A\cap B^{c},\;A^{c}\cap B e \;A\cap B
formam uma partição de A\cup B. O conteúdo envolvido é teoria de conjuntos: união, interseção, complemento e definição de partição. Lembrando que uma família de subconjuntos de um conjunto S é uma partição de S se e somente se eles são (i) a união dos subconjuntos dá S e (ii) esses subconjuntos são dois a dois disjuntos.

Passo 2

Vamos provar primeiro que
(A\cap B^{c})\;\cup\;(A^{c}\cap B)\;\cup\;(A\cap B)\;=\;A\cup B.
Seja x\in A\cup B. Então ou x\in A ou x\in B.
  • Se x\in A e x\in B, então x\in A\cap B.
  • Se x\in A e x\notin B, então x\in A\cap B^{c}.
  • Se x\notin A e x\in B, então x\in A^{c}\cap B.
    Logo, todo x\in A\cup B pertence a uma das três partes, provando a inclusão “ \subseteq”. A outra inclusão “ \supseteq” é imediata porque cada conjunto A\cap B^{c},A^{c}\cap B,A\cap B está contido em A\cup B.

Passo 3

Agora mostramos que essas três partes são duas a duas disjuntas. Há três interseções a verificar:
(i) (A\cap B)\cap(A\cap B^{c}),
(ii) (A\cap B)\cap(A^{c}\cap B),
(iii) (A\cap B^{c})\cap(A^{c}\cap B).
Em (i) aparece o fator B\cap B^{c}=\emptyset, logo a interseção é vazia.
Em (ii) aparece o fator A\cap A^{c}=\emptyset, logo também é vazia.
Em (iii) aparecem simultaneamente A\cap A^{c} e B\cap B^{c}, sendo igualmente vazia.
Portanto todas as interseções são \emptyset.

Resposta

Concluímos que
\{\,A\cap B^{c},\;A^{c}\cap B,\;A\cap B\}
é uma partição de A\cup B.

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