Exercício 22. (D.K. ex. 10.16) Mostre que
é uma distribuição homogênea de ordem
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a derivada de ordem
do delta de Dirac, isto é
, é uma distribuição homogênea de grau (ordem)
.
Conteúdo envolvido: teoria de distribuições, noções de escala de distribuições e homogeneidade.
Conteúdo envolvido: teoria de distribuições, noções de escala de distribuições e homogeneidade.
Passo 2
Vamos lembrar a definição de escala de uma distribuição
. Para
definimos
e dizemos que
é homogênea de grau
se
ou seja
Passo 3
Usamos a ação de
em funções de teste. Sabemos que para toda
Então, aplicando a definição de escala,
Passo 4
Pela regra da cadeia, ao derivar
em
obtemos
Logo
Passo 5
Comparando com a definição de homogeneidade, vemos que
ou seja
é homogênea de grau
.