Exercício 22. (D.K. ex. 10.16) Mostre que partial^alpha de<a é uma distribuição homogênea de ordem -n-|alpha|.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a derivada de ordem alpha do delta de Dirac, isto é partial^alphade<a, é uma distribuição homogênea de grau (ordem) -n-|alpha|.
Conteúdo envolvido: teoria de distribuições, noções de escala de distribuições e homogeneidade.

Passo 2

Vamos lembrar a definição de escala de uma distribuição Tin D'( R^n). Para lambda>0 definimos
lang<= Tlambda,varphirang<= ;=;lambda^-n,lang<= T,;varphi(tfraccdotlambda)rang<=,
e dizemos que T é homogênea de grau m se
Tlambda ;=;lambda^m,T para todo lambda>0,
ou seja
lang<= Tlambda,varphirang<= =lambda^m,lang<= T,varphirang<=

Passo 3

Usamos a ação de partial^alphade<a em funções de teste. Sabemos que para toda varphiin D( R^n)
lang<= partial^alphade<a,varphirang<= =;(-1)^|alpha|,partial^alphavarphi(0)
Então, aplicando a definição de escala,
lang<= (partial^alphade<a)lambda,varphirang<= =lambda^-n, lang<= partial^alphade<a,, varphi(tfraccdotlambda)rang<= =lambda^-n,(-1)^|alpha|, partial^alphal[varphi(tfracxlambda)r]x=0

Passo 4

Pela regra da cadeia, ao derivar varphi(x/lambda) em x=0 obtemos
partial^alphal[varphi(tfracxlambda)r]x=0 =lambda^-|alpha|, l(partial^alphavarphir)(0)
Logo
lang<= (partial^alphade<a)lambda,varphirang<= =lambda^-n,lambda^-|alpha|, (-1)^|alpha|,partial^alphavarphi(0) =lambda^-n-|alpha|, lang<= partial^alphade<a,varphirang<=

Passo 5

Comparando com a definição de homogeneidade, vemos que
(partial^alphade<a)lambda =lambda^-n-|alpha|,partial^alphade<a,
ou seja partial^alphade<a é homogênea de grau -n-|alpha|.

Resposta

partial^alphade<a é de fato uma distribuição homogênea de ordem -n-|alpha|.

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