Mostre as propriedades da soma e produto em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, com as operações usuais de soma e produto,
satisfaz os axiomas de um corpo comutativo. Vamos explicitar as definições
com
, e verificar fechamento, comutatividade, associatividade, existência de elementos neutros e inversos, e distributividade.
Passo 2
Propriedades da soma em
:
- Fechamento:
e como e são reais, . - Comutatividade:
- Associatividade:
pois a adição em é associativa em cada parte real e imaginária. - Neutro aditivo:
satisfaz . - Inverso aditivo:
pois .
Passo 3
Propriedades do produto em
:
- Fechamento:
e , são reais, logo . - Comutatividade:
segue direto da comutatividade em . - Associatividade:
pois a multiplicação em é associativa nas partes real e imaginária. - Neutro multiplicativo:
satisfaz . - Inverso multiplicativo: para
, pois
Passo 4
Distributividade:
pois a multiplicação em
distribui sobre a soma em cada parte real e imaginária.
Passo 5
Conclusão: todas as propriedades de corpo comutativo estão satisfeitas em
, ou seja,
é um corpo (campo) comutativo.
Resposta
- Fechamento da soma e do produto.
- Comutatividade da soma e do produto.
- Associatividade da soma e do produto.
- Neutro aditivo
. - Inverso aditivo
. - Neutro multiplicativo
. - Inverso multiplicativo
para . - Distributividade
.