Mostre as propriedades da soma e produto em C.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, com as operações usuais de soma e produto, C satisfaz os axiomas de um corpo comutativo. Vamos explicitar as definições
z1 = x1 + i y1, z2 = x2 + i y2, z3 = x3 + i y3,
com xj,yjinR, e verificar fechamento, comutatividade, associatividade, existência de elementos neutros e inversos, e distributividade.

Passo 2

Propriedades da soma em C:
  1. Fechamento: z1 + z2 = (x1+x2) + i(y1+y2), e como x1+x2 e y1+y2 são reais, z1+z2inC.
  2. Comutatividade: z1 + z2 = (x1+x2)+i(y1+y2) = (x2+x1)+i(y2+y1) = z2 + z1
  3. Associatividade: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3), pois a adição em R é associativa em cada parte real e imaginária.
  4. Neutro aditivo: 0C = 0 + i0 satisfaz z + 0C = z.
  5. Inverso aditivo: -z = -x - i y, pois z + (-z) = (x-x) + i(y-y) = 0C.

Passo 3

Propriedades do produto em C:
  1. Fechamento: z1 z2 = (x1x2 - y1y2) + i(x1y2 + x2y1), e x1x2 - y1y2, x1y2 + x2y1 são reais, logo z1z2inC.
  2. Comutatividade: z1 z2 = z2 z1 segue direto da comutatividade em R.
  3. Associatividade: (z1 z2) z3 = z1 (z2 z3), pois a multiplicação em R é associativa nas partes real e imaginária.
  4. Neutro multiplicativo: 1C = 1 + i0 satisfaz zcdot1C=z.
  5. Inverso multiplicativo: para zneq0, z^-1 = x - i yx^2 + y^2, pois zcdot z^-1 = (x+iy)(x-iy)x^2+y^2 = x^2 + y^2x^2+y^2 = 1C

Passo 4

Distributividade:
z1,(z2 + z3) = z1z2 + z1z3,
pois a multiplicação em R distribui sobre a soma em cada parte real e imaginária.

Passo 5

Conclusão: todas as propriedades de corpo comutativo estão satisfeitas em C, ou seja, (C,+,cdot) é um corpo (campo) comutativo.

Resposta

  • Fechamento da soma e do produto.
  • Comutatividade da soma e do produto.
  • Associatividade da soma e do produto.
  • Neutro aditivo 0C=0+i0.
  • Inverso aditivo -z=-x-iy.
  • Neutro multiplicativo 1C=1+i0.
  • Inverso multiplicativo z^-1=(x-iy)/(x^2+y^2) para zneq0.
  • Distributividade z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.

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