Exercício 2 Considere a curva gamma^prime(t). Calcule gamma^prime(0) e .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de uma curva paramétrica gamma(t)=(sin(3t),,e^t^2,,t) e depois avaliar em t=0. Isso envolve o conteúdo de derivada de função vetorial, aplicando a derivada em cada componente usando regras como cadeia e exponencial.

Passo 2

Para a primeira componente sin(3t), aplicamos a regra da cadeia: a derivada de sin(u) é cos(u) vezes u'. Aqui u=3t e u'=3, então
ddt,sin(3t)=3cos(3t)

Passo 3

Para a segunda componente e^t^2, usamos a derivada de exponencial:
ddt,e^t^2=e^t^2cdotddt(t^2)=e^t^2cdot2t=2t,e^t^2

Passo 4

Para a terceira componente t, a derivada é simplesmente
ddt,t=1

Passo 5

Assim, a derivada da curva é
gamma'(t)=l(3cos(3t),,2t,e^t^2,,1r)

Passo 6

Agora avaliamos em t=0. Como cos(0)=1 e e^0=1, temos
gamma'(0)=l(3cdot1,,2cdot0cdot1,,1r)=(3,0,1)

Resposta

gamma'(t)=(3cos(3t),,2t,e^t^2,,1) e gamma'(0)=(3,0,1).

Exercícios relacionados