Exercício 0.25 Sejam a, b \in \mathbb{Z}. Mostre que se a e b são ímpares, então a+b é par.

Passo 1

O enunciado diz que a,b\in\mathbb{Z} são ímpares e pede para mostrar que a soma a+b é um número par. Vamos usar a definição de número ímpar e de número par para estruturar a prova.

Passo 2

Por definição, dizemos que um inteiro n é ímpar se existe k\in\mathbb{Z} tal que
n = 2k + 1.
Como a e b são ímpares, existem m,n\in\mathbb{Z} tais que
a = 2m + 1, \quad b = 2n + 1.

Passo 3

Agora somamos a e b:
a + b = (2m + 1) + (2n + 1).
Agrupando termos semelhantes,
a + b = 2m + 2n + 2 = 2\,(m + n + 1).

Passo 4

Observe que m+n+1 é um inteiro (soma de inteiros). Seja p = m + n + 1. Então
a + b = 2p.
Pela definição de número par, um inteiro é par se pode ser escrito como 2 vezes outro inteiro. Como a+b=2p, concluímos que a+b é par.

Resposta

Concluímos que a soma de dois números ímpares é sempre um número par.

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