Exercicio 2[25 pontos]: Use o teorema de campo conservativo para calcular a integral do campo verorial
ao longo da curva
obtida como interseção da superfície pela parte superior do elipsoide
, com o plano
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde
e
é a curva-arco obtida na interseção do plano
com a “metade de cima”
do elipsoide
Como em
temos
fixo e, portanto,
, o diferencial de linha fica
Isso define um campo em duas variáveis
no plano
. Vamos checar se esse campo é conservativo e usar o teorema fundamental da integral de linha.
Passo 2
Verificamos a condição de conservatividade em duas dimensões (plano
):
Como
, o campo é conservativo em todo o plano
.
Passo 3
Procuramos função potencial
tal que
Integramos
em
:
Agora impomos
:
Logo podemos tomar
Passo 4
Identificamos os extremos de
. Na interseção do elipsoide com
e
vale
Para
(pontos finais do arco) dá
Chamamos
e
. Escolhemos a orientação de
de
para
(isto é,
cresce).
Passo 5
Pelo teorema fundamental da linha para campos conservativos:
Calculamos
Portanto