Exercicio 2[25 pontos]: Use o teorema de campo conservativo para calcular a integral do campo verorial
\boldsymbol{F}(x, y, z)=\left(y z+x^{2}, x z+3 y^{2}, x\right)
ao longo da curva C obtida como interseção da superfície pela parte superior do elipsoide \frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1, z \geq 0, com o plano y=1

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{C}\mathbf F\cdot d\mathbf r
onde \mathbf F(x,y,z)=(yz+x^2,\;xz+3y^2,\;x) e C é a curva-arco obtida na interseção do plano y=1 com a “metade de cima” z\ge0 do elipsoide
\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1.
Como em C temos y=1 fixo e, portanto, dy=0, o diferencial de linha fica
\mathbf F\cdot d\mathbf r =F_x\,dx+F_y\,dy+F_z\,dz =(z+x^2)\,dx+0\cdot dy + x\,dz.
Isso define um campo em duas variáveis (x,z)
P(x,z)=z+x^2, \quad R(x,z)=x,
no plano y=1. Vamos checar se esse campo é conservativo e usar o teorema fundamental da integral de linha.

Passo 2

Verificamos a condição de conservatividade em duas dimensões (plano y=1):
\frac{\partial P}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}(z+x^2)=1, \qquad \frac{\partial R}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(x)=1.
Como \partial P/\partial z=\partial R/\partial x, o campo é conservativo em todo o plano y=1.

Passo 3

Procuramos função potencial \varphi(x,z) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,z)=z+x^2, \qquad \frac{\partial \varphi}{\partial z}=R(x,z)=x.
Integramos \partial\varphi/\partial x em x:
\varphi(x,z)=\int(z+x^2)\,dx =\frac{x^3}{3}+xz+h(z).
Agora impomos \partial\varphi/\partial z=x:
\frac{\partial \varphi}{\partial z} =x + h'(z) \;\overset{!}{=}\;x \;\Longrightarrow\; h'(z)=0 \;\Longrightarrow\; h(z)=\text{const}.
Logo podemos tomar
\varphi(x,z)=\frac{x^3}{3}+xz.

Passo 4

Identificamos os extremos de C. Na interseção do elipsoide com y=1 e z\ge0 vale
\frac{x^2}{3}+\frac{1^2}{4}+z^2=1 \;\Longrightarrow\; \frac{x^2}{3}+z^2=\frac{3}{4}.
Para z=0 (pontos finais do arco) dá
\frac{x^2}{3}=\frac{3}{4} \;\Longrightarrow\; x^2=\frac{9}{4} \;\Longrightarrow\; x=\pm\frac{3}{2}.
Chamamos A=\bigl(-\tfrac32,1,0\bigr) e B=\bigl(\tfrac32,1,0\bigr). Escolhemos a orientação de C de A para B (isto é, x cresce).

Passo 5

Pelo teorema fundamental da linha para campos conservativos:
\int_{C}\mathbf F\cdot d\mathbf r =\varphi\bigl(B\bigr)-\varphi\bigl(A\bigr).
Calculamos
\varphi\bigl(\tfrac32,0\bigr) =\frac{1}{3}\Bigl(\tfrac32\Bigr)^3+\tfrac32\cdot0 =\frac{1}{3}\cdot\frac{27}{8} =\frac{9}{8},
\varphi\bigl(-\tfrac32,0\bigr) =\frac{1}{3}\Bigl(-\tfrac32\Bigr)^3+(-\tfrac32)\cdot0 =\frac{1}{3}\cdot\bigl(-\tfrac{27}{8}\bigr) =-\frac{9}{8}.
Portanto
\int_{C}\mathbf F\cdot d\mathbf r =\frac{9}{8}-\bigl(-\frac{9}{8}\bigr) =\frac{18}{8} =\frac{9}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{9}{4}

Exercícios relacionados