O Teorema do Valor Médio estabelece que, se uma função f é contínua no intervalo [a, b] e derivável no intervalo (a, b), existe um número c \in(a, b) tal que f^{\prime}\text{(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}. Considere a função polinomial g(x)=x(x+1)(x+2)(x+3).
(a) (1,5 pontos ) Justifique que o Teorema do Valor Médio pode ser aplicado à função g nos intervalos [-1,0],[-2,-1] e [-3,-2].
(b) (1,5 pontos ) Sabendo que um polinômio de grau 3 admite no máximo 3 raízes, conclua que a equação g^{\prime}(x)=0 admite exatamente três raízes reais.

Passo 1

O enunciado define a função polinomial
g(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)
e pede:
– (a) justificar que o Teorema do Valor Médio vale em cada um dos intervalos [-1,0], [-2,-1] e [-3,-2];
– (b) usar isso e a propriedade de que um polinômio de grau 3 tem no máximo 3 raízes para concluir que g'(x)=0 tem exatamente três raízes reais.
O conteúdo principal é o Teorema do Valor Médio (TVM) e a contagem de raízes de uma derivada de polinômio.

Passo 2

Uma vez que g é um polinômio, ela é contínua em \mathbb{R} e derivável em \mathbb{R}. Logo, em qualquer intervalo [a,b]\subset\mathbb{R} vale a hipótese do TVM:
g contínua em [a,b],
g derivável em (a,b).

Passo 3

Vamos calcular os valores de g nos extremos de cada intervalo:
Para [-1,0]:
g(-1)=(-1)\cdot0\cdot1\cdot2=0, \quad g(0)=0\cdot1\cdot2\cdot3=0.
Para [-2,-1]:
g(-2)=(-2)\cdot(-1)\cdot0\cdot1=0, \quad g(-1)=0.
Para [-3,-2]:
g(-3)=(-3)\cdot(-2)\cdot(-1)\cdot0=0, \quad g(-2)=0.

Passo 4

Em cada intervalo [a,b] acima temos g(b)-g(a)=0. Pelo Teorema do Valor Médio, existe c\in(a,b) tal que
g'\text{(c)}=\frac{g(b)-g(a)}{b-a}=0.
Como os intervalos (-1,0), (-2,-1) e (-3,-2) são disjuntos, obtemos três valores distintos c_1\in(-1,0), c_2\in(-2,-1) e c_3\in(-3,-2) tais que
g'(c_1)=g'(c_2)=g'(c_3)=0.

Passo 5

Sabemos que g é de grau 4, então g' é um polinômio de grau 3 e, portanto, admite no máximo três raízes reais. Como já achamos pelo TVM três raízes distintas, concluímos que são exatamente três.

Resposta

A equação g'(x)=0 admite exatamente três raízes reais.

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