O Teorema do Valor Médio estabelece que, se uma função
é contínua no intervalo
e derivável no intervalo
, existe um número
tal que
. Considere a função polinomial
.
(a)
pontos
Justifique que o Teorema do Valor Médio pode ser aplicado à função
nos intervalos
e
.
(b)
pontos
Sabendo que um polinômio de grau 3 admite no máximo 3 raízes, conclua que a equação
admite exatamente três raízes reais.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado define a função polinomial
e pede:
– (a) justificar que o Teorema do Valor Médio vale em cada um dos intervalos ,
e
;
– (b) usar isso e a propriedade de que um polinômio de grau 3 tem no máximo 3 raízes para concluir que tem exatamente três raízes reais.
O conteúdo principal é o Teorema do Valor Médio (TVM) e a contagem de raízes de uma derivada de polinômio.
– (a) justificar que o Teorema do Valor Médio vale em cada um dos intervalos
– (b) usar isso e a propriedade de que um polinômio de grau 3 tem no máximo 3 raízes para concluir que
O conteúdo principal é o Teorema do Valor Médio (TVM) e a contagem de raízes de uma derivada de polinômio.
Passo 2
Uma vez que
é um polinômio, ela é contínua em
e derivável em
. Logo, em qualquer intervalo
vale a hipótese do TVM:
– contínua em
,
– derivável em
.
–
–
Passo 3
Vamos calcular os valores de
nos extremos de cada intervalo:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Em cada intervalo
acima temos
. Pelo Teorema do Valor Médio, existe
tal que
Como os intervalos
,
e
são disjuntos, obtemos três valores distintos
,
e
tais que
Passo 5
Sabemos que
é de grau 4, então
é um polinômio de grau 3 e, portanto, admite no máximo três raízes reais. Como já achamos pelo TVM três raízes distintas, concluímos que são exatamente três.
Resposta
A equação
admite exatamente três raízes reais.