Trabalho Adicional: Defina o que é capacitância, como calcular a capacitância de um capacitor de placas paralelas, um capacitor cilíndrico e um capacitor esférico. Explique a diferença entre capacitores em paralelo e em série.

Passo 1

O enunciado quer que a gente entenda o que é capacitância e como calcular a capacitância para três geometrias típicas de capacitor (placas paralelas, cilíndrico e esférico), além de explicar como se comportam capacitores em paralelo e em série. O conteúdo envolve eletrostática básica: relação carga-tensão e dependência geométrica via permissividade do dielétrico.

Passo 2

Capacitância é a capacidade de um dispositivo de armazenar carga elétrica em função da diferença de potencial aplicada. Por definição,
C = \frac{Q}{V},
onde Q é a carga armazenada em cada placa (ou condutor) e V é a diferença de potencial entre eles. A constante de proporcionalidade C depende da geometria e da permissividade \varepsilon do meio.

Passo 3

Para um capacitor de placas paralelas com área de placas A, separação d e dielétrico de permissividade \varepsilon, o campo elétrico entre as placas é uniforme e vale E = V/d. A densidade de carga superficial é \sigma = Q/A e, pelo teorema de Gauss, E = \sigma/\varepsilon. Combinando,
V = E\,d = \frac{\sigma}{\varepsilon}d = \frac{Q}{\varepsilon A}\,d,
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C = \frac{Q}{V} = \frac{\varepsilon A}{d}.

Passo 4

Para um capacitor cilíndrico coaxial de comprimento útil L, raio interno a e raio externo b, a carga por unidade de comprimento é \lambda = Q/L. O campo radial em uma superfície gaussiana de raio r a<r<b é E(r)=\lambda/(2\pi\varepsilon r). A diferença de potencial é
V = \int_a^b E(r)\,dr = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon}\int_a^b\frac{dr}{r} = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon}\ln\!\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr).
Como Q=\lambda L, a capacitância total é
C = \frac{Q}{V} = \frac{\lambda L}{(\lambda/(2\pi\varepsilon))\ln(b/a)} = \frac{2\pi\varepsilon L}{\ln(b/a)}.

Passo 5

Para um capacitor esférico com duas cascas concêntricas de raios a (interna) e b (externa), a carga na superfície interna é +Q e na externa é -Q. O campo em a<r<b é E(r)=Q/(4\pi\varepsilon r^2). A tensão entre as cascas é
V = \int_a^b E(r)\,dr = \frac{Q}{4\pi\varepsilon}\int_a^b\frac{dr}{r^2} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon}\Bigl(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\Bigr).
Assim,
C = \frac{Q}{V} = 4\pi\varepsilon\;\frac{ab}{\,b - a\,}.
No caso de uma única esfera isolada de raio R no infinito, faz-se b\to\infty e obtém-se C = 4\pi\varepsilon R.

Passo 6

Em associação de capacitores:
Em paralelo as placas equivalentes se somam em área efetiva, de modo que
C_{\text{eq, paralelo}} = \sum_i C_i.
Em série a mesma carga percorre cada capacitor e as tensões se somam, levando a
\frac{1}{C_{\text{eq, série}}} = \sum_i \frac{1}{C_i}.é
Na prática, paralelo aumenta a capacitância equivalente, série reduz.

Resposta

Capacitância é a razão \,C=Q/V.
Para placas paralelas:
C = \frac{\varepsilon A}{d}.
Para capacitor cilíndrico coaxial:
C = \frac{2\pi\varepsilon L}{\ln(b/a)}.
Para capacitor esférico concêntrico:
C = 4\pi\varepsilon\,\frac{ab}{b - a},
e no limite b\to\infty, C=4\pi\varepsilon R.
Em paralelo:
C_{\text{eq}}=\sum C_i.
Em série:
\frac{1}{C_{\text{eq}}}=\sum\frac{1}{C_i}.

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