Exercício 25. Um determinado restaurante serve refeição com dois tipos de carne: bovina ou suína (à escolher uma). Por experiência do proprietário, sabe-se dos que consomem carne bovina 75 \% são homens; dos que consomem carne suína 45 \% são mulheres; 55 \% dos fregueses são homens. Em um certo dia o primeiro freguês a sair do restaurante escolheu carne bovina, qual é a probabilidade de que este freguês seja do sexo feminino? (R. 0.2153)

Passo 1

Vamos deixar clarinho o que o enunciado diz e o que ele pede. Dados fornecidos:
  • “Dos que consomem carne bovina 75\% são homens.” Ou seja, entre os clientes que escolheram carne bovina, 75\% são homens.
  • “Dos que consomem carne suína 45\% são mulheres.” Ou seja, entre os clientes que escolheram carne suína, 45\% são mulheres.
  • " 55\% dos fregueses são homens." Ou seja, na população total de fregueses, P(\text{homem})=0,55 e P(\text{mulher})=0,45.
    Pergunta: Em um certo dia, o primeiro freguês a sair escolheu carne bovina. Qual é a probabilidade de que esse freguês seja do sexo feminino? Ou seja, queremos P(\text{mulher} \mid \text{bovina}).

Passo 2

Interpretação direta do primeiro dado: “dos que consomem carne bovina 75\% são homens” é exatamente a definição de probabilidade condicional
P(\text{homem}\mid \text{bovina})=0,75.
A partir disso, como os eventos “homem” e “mulher” são complementares (assumimos apenas esses dois sexos no problema), temos imediatamente
P(\text{mulher}\mid \text{bovina}) = 1 - P(\text{homem}\mid \text{bovina}).
Aqui ainda só estamos reorganizando o que foi dado, sem usar os outros números.

Passo 3

Aplicando a fórmula de complemento para obter a probabilidade buscada:
P(\text{mulher}\mid \text{bovina}) = 1 - 0,75 = 0,25.
Então, pela leitura direta do enunciado, a probabilidade de que um freguês que escolheu carne bovina seja mulher é 0{,}25 (ou 25\%).

Passo 4

Agora eu quero te ensinar um pouco sobre probabilidades condicionais e Bayes — porque às vezes problemas misturam condições e marginais e fica confuso. Fórmula de Bayes (no contexto sexo vs. escolha de carne) escreve:
P(\text{mulher}\mid \text{bovina})=\frac{P(\text{bovina}\mid \text{mulher})\;P(\text{mulher})}{P(\text{bovina})}.
Aqui:
  • P(\text{mulher}\mid \text{bovina}) é o que queremos.
  • P(\text{bovina}\mid \text{mulher}) é a fração de mulheres que escolhem bovina.
  • P(\text{mulher}) é a proporção de mulheres entre os fregueses (aqui 0{,}45).
  • P(\text{bovina}) é a proporção de fregueses que escolhem bovina (desconhecida a priori).
    Se o enunciado nos desse P(\text{bovina}\mid \text{mulher}) e P(\text{bovina}\mid \text{homem}), usaríamos Bayes para calcular P(\text{mulher}\mid \text{bovina}). Mas no enunciado dado temos P(\text{homem}\mid \text{bovina}), que é justamente o inverso condicional — e nesse caso a resposta sai direta pelo complemento (como no Passo 3).

Passo 5

Vou fazer uma verificação de consistência entre os dados para te mostrar um ponto importante: às vezes enunciados trazem percentuais que não são consistentes entre si. Se tentarmos juntar os três dados (os dois condicionais sobre quem consome cada carne e a proporção marginal de homens), obtemos uma contradição. Escrevendo as quantidades:
  • Se P(\text{homem}\mid \text{bovina})=0,75 então P(\text{mulher}\mid \text{bovina})=0,25.
  • Se P(\text{mulher}\mid \text{suína})=0,45í então P(\text{homem}\mid \text{suína})=0,55í.
    Chamando p=P(\text{bovina}), a proporção total de homens pode ser calculada por
P(\text{homem}) = P(\text{homem}\land \text{bovina}) + P(\text{homem}\land \text{suína}) = P(\text{homem}\mid \text{bovina})\,p + P(\text{homem}\mid \text{suína})\,(1-p).íí
Substituindo os números dados:
0{,}55 = 0{,}75\,p + 0{,}55\,(1-p).
Ao resolver essa equação obtemos 0{,}55 = 0{,}75p + 0{,}55 - 0{,}55p, ou seja 0{,}20p = 0, portanto p=0. Isso implicaria que não há consumidores de carne bovina, o que contradiz a hipótese do problema (um freguês escolheu bovina). Conclusão: os três percentuais fornecidos não são mutuamente consistentes — provavelmente houve algum erro de transcrição no enunciado original.

Passo 6

Resumo prático e como usar isso numa prova: quando o enunciado diz explicitamente “dos que consomem X, y% são do grupo A”, isso é uma probabilidade condicional na forma P(A\mid X)=y\%. Se te pedirem “qual a probabilidade de que seja B dado que escolheu X?”, e B é o complemento de A (como mulher vs. homem), você pode responder direto por complemento:
P(B\mid X) = 1 - P(A\mid X).
Se te derem percentuais na direção oposta (por exemplo, “dos homens, z% escolhem X” que é P(X\mid \text{homem})), aí sim vai entrar Bayes se quiseres P(\text{homem}\mid X). Sempre identifique claramente qual é a condição (o “dado que”) antes de aplicar fórmulas.

Resposta

0{,}25

Exercícios relacionados