Exercício 25. Um determinado restaurante serve refeição com dois tipos de carne: bovina ou suína (à escolher uma). Por experiência do proprietário, sabe-se dos que consomem carne bovina
são homens; dos que consomem carne suína
são mulheres;
dos fregueses são homens. Em um certo dia o primeiro freguês a sair do restaurante escolheu carne bovina, qual é a probabilidade de que este freguês seja do sexo feminino? (R. 0.2153)
Passo 1
Vamos deixar clarinho o que o enunciado diz e o que ele pede. Dados fornecidos:
- “Dos que consomem carne bovina
são homens.” Ou seja, entre os clientes que escolheram carne bovina, são homens. - “Dos que consomem carne suína
são mulheres.” Ou seja, entre os clientes que escolheram carne suína, são mulheres. - "
dos fregueses são homens." Ou seja, na população total de fregueses, e .
Pergunta: Em um certo dia, o primeiro freguês a sair escolheu carne bovina. Qual é a probabilidade de que esse freguês seja do sexo feminino? Ou seja, queremos.
Passo 2
Interpretação direta do primeiro dado: “dos que consomem carne bovina
são homens” é exatamente a definição de probabilidade condicional
A partir disso, como os eventos “homem” e “mulher” são complementares (assumimos apenas esses dois sexos no problema), temos imediatamente
Aqui ainda só estamos reorganizando o que foi dado, sem usar os outros números.
Passo 3
Aplicando a fórmula de complemento para obter a probabilidade buscada:
Então, pela leitura direta do enunciado, a probabilidade de que um freguês que escolheu carne bovina seja mulher é
(ou
).
Passo 4
Agora eu quero te ensinar um pouco sobre probabilidades condicionais e Bayes — porque às vezes problemas misturam condições e marginais e fica confuso. Fórmula de Bayes (no contexto sexo vs. escolha de carne) escreve:
Aqui:
-
é o que queremos. -
é a fração de mulheres que escolhem bovina. -
é a proporção de mulheres entre os fregueses (aqui ). -
é a proporção de fregueses que escolhem bovina (desconhecida a priori).
Se o enunciado nos dessee , usaríamos Bayes para calcular . Mas no enunciado dado temos , que é justamente o inverso condicional — e nesse caso a resposta sai direta pelo complemento (como no Passo 3).
Passo 5
Vou fazer uma verificação de consistência entre os dados para te mostrar um ponto importante: às vezes enunciados trazem percentuais que não são consistentes entre si. Se tentarmos juntar os três dados (os dois condicionais sobre quem consome cada carne e a proporção marginal de homens), obtemos uma contradição. Escrevendo as quantidades:
- Se
então . - Se
então .
Chamando, a proporção total de homens pode ser calculada por
Substituindo os números dados:
Ao resolver essa equação obtemos
, ou seja
, portanto
. Isso implicaria que não há consumidores de carne bovina, o que contradiz a hipótese do problema (um freguês escolheu bovina). Conclusão: os três percentuais fornecidos não são mutuamente consistentes — provavelmente houve algum erro de transcrição no enunciado original.
Passo 6
Resumo prático e como usar isso numa prova: quando o enunciado diz explicitamente “dos que consomem X, y% são do grupo A”, isso é uma probabilidade condicional na forma
. Se te pedirem “qual a probabilidade de que seja B dado que escolheu X?”, e B é o complemento de A (como mulher vs. homem), você pode responder direto por complemento:
Se te derem percentuais na direção oposta (por exemplo, “dos homens, z% escolhem X” que é
), aí sim vai entrar Bayes se quiseres
. Sempre identifique claramente qual é a condição (o “dado que”) antes de aplicar fórmulas.