Exercício 3.23 Calcule a diferencial total (diferencial exata) de:
  1. f(x, y)=x^{2}+x y+y^{2},

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}+x y+y^{2} e pede para calcular a diferencial total (diferencial exata) dessa função.
Informações que temos:
  • A função envolve duas variáveis independentes: x e y.
  • A expressão de f é x^{2}+x y+y^{2}.
    O objetivo é escrever df em termos de dx e dy.

Passo 2

Primeiro, o que é a diferencial total? Se f(x,y) for diferenciável, a diferencial total df é dada pela soma das derivadas parciais multiplicadas pelos incrementos correspondentes:
df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy.
Aqui:
  • \dfrac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x, mantendo y fixo.
  • \dfrac{\partial f}{\partial y} é a derivada parcial de f em relação a y, mantendo x fixo.
  • dx e dy são os incrementos (pequenas variações) de x e y.
    Na prática para a prova: calcule as derivadas parciais e substitua na fórmula acima.

Passo 3

Calcular a derivada parcial de f em relação a x. Diferenciando termo a termo, tratando y como constante:
  • A derivada de x^{2} em relação a x é 2x.
  • A derivada de x y em relação a x é y (pois y é tratado como constante).
  • A derivada de y^{2} em relação a x é 0 (não depende de x).
    Portanto:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x+y.

Passo 4

Calcular a derivada parcial de f em relação a y. Diferenciando termo a termo, tratando x como constante:
  • A derivada de x^{2} em relação a y é 0.
  • A derivada de x y em relação a y é x (pois x é constante).
  • A derivada de y^{2} em relação a y é 2y.
    Portanto:
\frac{\partial f}{\partial y}=x+2y.

Passo 5

Agora substituímos as derivadas parciais na fórmula da diferencial total:
df = (2x+y)\,dx + (x+2y)\,dy.
Isto é a diferencial exata de f. Interpretação rápida: para pequenos incrementos dx e dy, a variação aproximada de f é df.

Passo 6

Exemplo numérico curto (pra fixar): se estivermos no ponto (x,y)=(1,2) então
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=2\cdot1+2=4,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=1+2\cdot2=5.
Se dx=0,01 e dy=-0,02, então
df = 4\cdot 0,01 + 5\cdot(-0,02) = 0,04 - 0,10 = -0,06.
Ou seja, f diminui aproximadamente 0,06 sob esses pequenos incrementos.

Resposta

df=(2x+y)\,dx+(x+2y)\,dy

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