Exercício 3.23 Calcule a diferencial total (diferencial exata) de:
-
,
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a diferencial total (diferencial exata) dessa função.
Informações que temos:
Informações que temos:
- A função envolve duas variáveis independentes:
e . - A expressão de
é .
O objetivo é escreverem termos de e .
Passo 2
Primeiro, o que é a diferencial total? Se
for diferenciável, a diferencial total
é dada pela soma das derivadas parciais multiplicadas pelos incrementos correspondentes:
Aqui:
-
é a derivada parcial de em relação a , mantendo fixo. -
é a derivada parcial de em relação a , mantendo fixo. -
e são os incrementos (pequenas variações) de e .
Na prática para a prova: calcule as derivadas parciais e substitua na fórmula acima.
Passo 3
Calcular a derivada parcial de
em relação a
. Diferenciando termo a termo, tratando
como constante:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é (pois é tratado como constante). - A derivada de
em relação a é (não depende de ).
Portanto:
Passo 4
Calcular a derivada parcial de
em relação a
. Diferenciando termo a termo, tratando
como constante:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é (pois é constante). - A derivada de
em relação a é .
Portanto:
Passo 5
Agora substituímos as derivadas parciais na fórmula da diferencial total:
Isto é a diferencial exata de
. Interpretação rápida: para pequenos incrementos
e
, a variação aproximada de
é
.
Passo 6
Exemplo numérico curto (pra fixar): se estivermos no ponto
então
Se
e
, então
Ou seja,
diminui aproximadamente
sob esses pequenos incrementos.