Exercício 31. Calcule
, onde
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que está dado:
- Pede-se calcular a integral dupla
. - A região
é o disco unitário centrado na origem: - Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função a integrar é
. - A região é circular e simétrica em torno da origem, de raio
.
- A função a integrar é
Passo 2
Escolha do método e mudança de coordenadas (explicação didática do porquê):
- Como a região
é um disco e a integranda depende apenas de , faz muito sentido usar coordenadas polares. Em coordenadas polares definimos: onde é a distância à origem e é o ângulo polar. - Em polares, a quantidade
fica simplesmente . Isso simplifica a integranda: - Ao trocar de coordenadas, devemos multiplicar pelo Jacobiano da transformação, que para polares é
. Ou seja, a área elementar vira . - Os limites: para cobrir todo o disco unitário,
varia de a e varia de a .
Passo 3
Escrever a integral em coordenadas polares e separar variáveis:
- Substituindo
e , a integral fica - A integranda é produto de uma função de
apenas e não depende de , então a integral em se separa:
Passo 4
Cálculo da integral unidimensional
— substituição simples:
- Use a substituição
- Quando
temos . Quando temos . - Portanto
Passo 5
Integração de
(pequena aula / método):
- A primitiva de
pode ser obtida por integração por partes. Tome - Pela fórmula da integração por partes
, obtemos - Portanto a primitiva é
Passo 6
Avaliar a integral definida
:
- Usando a primitiva:
- Calculando os valores:
- Multiplicando por
dá
Passo 7
Voltar ao fator angular e concluir o cálculo da integral dupla:
- Lembrando que a integral dupla vale
vezes a integral que acabamos de calcular, obtemos - Podemos também distribuir
para escrever de forma equivalente: