Exercício 31. Calcule \iint_{D} \ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right) d x d y, onde D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que está dado:
  • Pede-se calcular a integral dupla \iint_{D} \ln\!\left(1+x^{2}+y^{2}\right)\,dx\,dy.
  • A região D é o disco unitário centrado na origem: D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}.
  • Informações relevantes extraídas do enunciado:
    • A função a integrar é \ln\!\left(1+x^{2}+y^{2}\right).
    • A região é circular e simétrica em torno da origem, de raio 1.

Passo 2

Escolha do método e mudança de coordenadas (explicação didática do porquê):
  • Como a região D é um disco e a integranda depende apenas de x^{2}+y^{2}, faz muito sentido usar coordenadas polares. Em coordenadas polares definimos: x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,onde r\ge 0 é a distância à origem e \theta é o ângulo polar.
  • Em polares, a quantidade x^{2}+y^{2} fica simplesmente r^{2}. Isso simplifica a integranda: \ln\!\left(1+x^{2}+y^{2}\right)=\ln\!\left(1+r^{2}\right).
  • Ao trocar de coordenadas, devemos multiplicar pelo Jacobiano da transformação, que para polares é r. Ou seja, a área elementar dx\,dy vira r\,dr\,d\theta.
  • Os limites: para cobrir todo o disco unitário, r varia de 0 a 1 e \theta varia de 0 a 2\pi.

Passo 3

Escrever a integral em coordenadas polares e separar variáveis:
  • Substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2} e dx\,dy = r\,dr\,d\theta, a integral fica \iint_{D}\ln\!\left(1+x^{2}+y^{2}\right)\,dx\,dy = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\ln\!\left(1+r^{2}\right)\,r\,dr\,d\theta.
  • A integranda é produto de uma função de r apenas e não depende de \theta, então a integral em \theta se separa: \int_{0}^{2\pi}\,d\theta \cdot \int_{0}^{1} r\ln\!\left(1+r^{2}\right)\,dr = 2\pi \int_{0}^{1} r\ln\!\left(1+r^{2}\right)\,dr.

Passo 4

Cálculo da integral unidimensional \displaystyle \int_{0}^{1} r\ln\!\left(1+r^{2}\right)\,dr — substituição simples:
  • Use a substituição u = 1+r^{2}\quad\Rightarrow\quad du = 2r\,dr \quad\Rightarrow\quad r\,dr = \frac{du}{2}.
  • Quando r=0 temos u=1. Quando r=1 temos u=2.
  • Portanto \int_{0}^{1} r\ln\!\left(1+r^{2}\right)\,dr = \frac{1}{2}\int_{1}^{2} \ln u\,du.

Passo 5

Integração de \displaystyle \int \ln u\,du (pequena aula / método):
  • A primitiva de \ln u pode ser obtida por integração por partes. Tome \begin{aligned} &a=\ln u \quad\Rightarrow\quad da=\frac{1}{u}\,du,\\\ &db=du \quad\Rightarrow\quad b=u. \end{aligned}
  • Pela fórmula da integração por partes \int a\,db = a b - \int b\,da, obtemos \int \ln u\,du = u\ln u - \int u\cdot\frac{1}{u}\,du = u\ln u - \int 1\,du = u\ln u - u + C.
  • Portanto a primitiva é \;u\ln u - u\;.

Passo 6

Avaliar a integral definida \displaystyle \frac{1}{2}\int_{1}^{2}\ln u\,du:
  • Usando a primitiva: \frac{1}{2}\int_{1}^{2}\ln u\,du = \frac{1}{2}\big[ u\ln u - u \big]_{u=1}^{u=2}.
  • Calculando os valores: \begin{aligned} &\big[ u\ln u - u \big]_{1}^{2} = (2\ln 2 - 2) - (1\cdot\ln 1 - 1) \\\ &\qquad= 2\ln 2 - 2 - (0 - 1) = 2\ln 2 - 1. \end{aligned}
  • Multiplicando por \tfrac{1}{2} \frac{1}{2}\big(2\ln 2 - 1\big) = \ln 2 - \frac{1}{2}.

Passo 7

Voltar ao fator angular e concluir o cálculo da integral dupla:
  • Lembrando que a integral dupla vale 2\pi vezes a integral que acabamos de calcular, obtemos \iint_{D}\ln\!\left(1+x^{2}+y^{2}\right)\,dx\,dy = 2\pi\left(\ln 2 - \frac{1}{2}\right).
  • Podemos também distribuir 2\pi para escrever de forma equivalente: 2\pi\ln 2 - \pi.

Resposta

2\pi\ln 2 - \pi

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