Exercício 24. Determinar o valor de m para que sja de \frac{\pi}{3} o ângulo entre os planos \Pi_{1} : x+m y+2 z-7=0 e \Pi_{2}: 4 x+5 y+3 z+2=0.

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor de m de modo que o ângulo entre os planos
\Pi_{1}: x+my+2z-7=0 \quad\text{e}\quad \Pi_{2}: 4x+5y+3z+2=0
seja \tfrac{\pi}{3}. O conteúdo aqui é o cálculo do ângulo entre planos via o produto escalar dos vetores normais.

Passo 2

Os vetores normais são \vec n_{1}=(1,m,2) e \vec n_{2}=(4,5,3). O cosseno do ângulo \varphi entre eles satisfaz
\cos\varphi =\frac{\bigl|\vec n_{1}\cdot\vec n_{2}\bigr|}{\|\vec n_{1}\|\;\|\vec n_{2}\|} =\frac{|1\cdot4 + m\cdot5 + 2\cdot3|}{\sqrt{1^{2}+m^{2}+2^{2}}\;\sqrt{4^{2}+5^{2}+3^{2}}} =\frac{|5m+10|}{\sqrt{m^{2}+5}\;\sqrt{50}}.
Como \sqrt{50}=5\sqrt{2}, isto fica
\cos\varphi =\frac{5\,|m+2|}{5\sqrt{2}\,\sqrt{m^{2}+5}} =\frac{|m+2|}{\sqrt{2}\,\sqrt{m^{2}+5}}.

Passo 3

Queremos \varphi=\tfrac{\pi}{3}, logo \cos\varphi=\tfrac12. Impomos
\frac{|m+2|}{\sqrt{2}\,\sqrt{m^{2}+5}}=\frac12.

Passo 4

Multiplicando em cruz e elevando ao quadrado para eliminar o valor absoluto:
2\,|m+2|=\sqrt{2}\,\sqrt{m^{2}+5} \quad\Longrightarrow\quad 4\,(m+2)^{2}=2\,(m^{2}+5).
Expandindo e simplificando:
4(m^{2}+4m+4)=2m^{2}+10 \quad\Longrightarrow\quad 4m^{2}+16m+16=2m^{2}+10 \quad\Longrightarrow\quad 2m^{2}+16m+6=0 \quad\Longrightarrow\quad m^{2}+8m+3=0.

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática:
m =\frac{-8\pm\sqrt{8^{2}-4\cdot1\cdot3}}{2} =\frac{-8\pm\sqrt{64-12}}{2} =\frac{-8\pm\sqrt{52}}{2} =-4\pm\sqrt{13}.

Resposta

m=-4+\sqrt{13} ou m=-4-\sqrt{13}.

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