Exercício 26. Calcular os valores de m e n para que a reta r estaja contida no plano \Pi :
r:\left\{\begin{array}{ll}y & =2 x-1 \\\ z & =-x+m\end{array}\right. e \Pi: 5 x-n y+2=0;

Passo 1

O enunciado pede para que cada ponto da reta \displaystyle r:\begin{cases}y=2x-1,\\\ z=-x+m\end{cases}
satisfaça a equação do plano \displaystyle \Pi:5x - n\,y +2=0.
O conteúdo aqui é a condição de pertencimento de uma reta a um plano: basta parametrizar a reta e impor que toda a parametrização verifique a equação do plano.

Passo 2

Escolhemos o parâmetro t tal que
x = t,\quad y = 2t - 1,\quad z = -t + m.
Assim um ponto genérico de r é \bigl(t,\;2t-1,\;-t+m\bigr).

Passo 3

Substituímos esse ponto na equação de \Pi:
5x - n\,y + 2 = 5t - n\,(2t - 1) + 2 = 0.
Expandindo,
5t - 2n\,t + n + 2 = (5 - 2n)\,t + (n + 2) = 0.

Passo 4

Para que essa identidade valha para todo t, precisamos de
5 - 2n = 0 \quad\text{e}\quad n + 2 = 0.
Da primeira vem n = \tfrac{5}{2}; da segunda vem n = -2. Essas duas condições são incompatíveis, ou seja, não há n que as satisfaça simultaneamente. Observe que m não aparece na equação, então não há escolha de m capaz de consertar essa inconsistência.

Passo 5

Concluímos que não existem valores de m e n tais que toda a reta r esteja contida no plano \Pi.

Resposta

Não existem valores de m e n que façam r\subset\Pi.

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