A partir da função
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+1 & \text { se }-\pi<x<0 \\\ 0 & \text { se } 0<x<\pi\end{array},\right.é possível obter sua série de Fourier
S(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n} \cos (n x)+b_{n} \operatorname{sen}(n x)\right] .
Nesse caso, determine a expressão numérica de APENAS DOIS dentre os três termos abaixo:
(2.0) a_{0}=

Passo 1

O enunciado dá a função periódica (considerada no intervalo -\pi<x<\pi\)) \[f(x)=\begin{cases} x+1 & \text{se } -\pi<x<0,\\[4pt] 0 & \text{se } 0<x<\pi, \end{cases}
e pede, entre os coeficientes da série de Fourier
S(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\operatorname{sen}(nx)\right],
o valor numérico de (;a_{0}.]
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\begin{aligned} &\text{o função por partes: }f(x)=x+1\text{ em }(-\pi,0)\text{ e }f(x)=0\text{ em }(0,\pi),\\[4pt] &\text{o intervalo de definição considerado para a série: }(-\pi,\pi). \end{aligned}çãçãé]

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula que nos dá \;a_{0} para uma função definida em (-\pi,\pi). A fórmula é
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx.
Explicando a fórmula de forma simples: \;a_{0} é (duas vezes) a média da função no período (-\pi,\pi). O símbolo \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx representa a integral definida da função no intervalo (-\pi,\pi), e o fator \frac{1}{\pi} normaliza essa integral para obter o coeficiente a_{0}.

Passo 3

Como f é dado por partes, separamos a integral em duas integrais sobre (-\pi,0) e (0,\pi). Escrevemos:
\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx=\int_{-\pi}^{0}(x+1)\,dx+\int_{0}^{\pi}0\,dx.
A segunda integral é zero porque a função vale 0 em (0,\pi). Focamos na primeira integral.

Passo 4

Calculemos a integral \displaystyle\int_{-\pi}^{0}(x+1)\,dx passo a passo. Primeiro encontramos primitiva de x+1:
\text{primitiva de }(x+1)\text{ é } \frac{x^{2}}{2}+x.é
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{-\pi}^{0}(x+1)\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}+x\right]_{x=-\pi}^{x=0} =\left(\frac{0^{2}}{2}+0\right)-\left(\frac{(-\pi)^{2}}{2}+(-\pi)\right).

Passo 5

Simplificando a expressão anterior:
\left(\frac{0^{2}}{2}+0\right)-\left(\frac{\pi^{2}}{2}-\pi\right) =0-\frac{\pi^{2}}{2}+\pi =-\frac{\pi^{2}}{2}+\pi.
Portanto
\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx=-\frac{\pi^{2}}{2}+\pi.

Passo 6

Usamos agora a fórmula de \;a_{0}:
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx =\frac{1}{\pi}\left(-\frac{\pi^{2}}{2}+\pi\right).
Fatorando e simplificando:
a_{0}=-\frac{\pi}{2}+1.

Resposta

a_{0}=1-\frac{\pi}{2}

Exercícios relacionados