Exercício 24 - Avaliação por Horner
Avalie os polinômios abaixo em x_{0} usando o Algoritmo de Horner e compare com a avaliação direta (contando multiplicações).
Para cada caso, mostre a tabela de recorrência de Horner e calcule também p^{\prime}\left(x_{0}\right) usando Horner duplo.
p(x)=2 x^{5}-x^{4}+3 x^{3}-2 x^{2}+x-7, x_{0}=-1

Passo 1

O enunciado dá o polinômio e o ponto onde devo avaliá‑lo:
p(x)=2x^{5}-x^{4}+3x^{3}-2x^{2}+x-7,\qquad x_{0}=-1.
O que preciso entregar:
  • Avaliar p(x_{0}) usando o Algoritmo de Horner, mostrando a tabela de recorrência (passo a passo).
  • Comparar a avaliação por Horner com a avaliação direta, contando multiplicações.
  • Calcular p'(x_{0}) usando Horner duplo (mostrar a recorrência e o valor).

Passo 2

Explicando o Algoritmo de Horner (de forma bem direta e prática).
  • Escreve-se o polinómio pelos coeficientes de grau maior para o termo constante. Aqui os coeficientes são (do grau 5 ao 0): a_{5}=2,\; a_{4}=-1,\; a_{3}=3,\; a_{2}=-2,\; a_{1}=1,\; a_{0}=-7.
  • A recorrência de Horner para avaliar p(x_{0}) é: b_{5}=a_{5},\qquad b_{k}=a_{k}+x_{0}\,b_{k+1}\quad\text{para }k=4,3,\dots,0.No final p(x_{0})=b_{0}.
  • Contagem de multiplicações em Horner: cada passo b_k requer uma multiplicação x_{0}\cdot b_{k+1}. Para grau n há exatamente n multiplicações. Aqui, grau 5\Rightarrow 5 multiplicações.

Passo 3

Tabela de recorrência de Horner (computando cada b_k com x_{0}=-1). Vou mostrar cada linha com o cálculo explícito.
b_{5}=a_{5}=2.
b_{4}=a_{4}+x_{0}b_{5}=-1+(-1)\cdot 2=-1-2=-3.
b_{3}=a_{3}+x_{0}b_{4}=3+(-1)\cdot(-3)=3+3=6.
b_{2}=a_{2}+x_{0}b_{3}=-2+(-1)\cdot 6=-2-6=-8.
b_{1}=a_{1}+x_{0}b_{2}=1+(-1)\cdot(-8)=1+8=9.
b_{0}=a_{0}+x_{0}b_{1}=-7+(-1)\cdot 9=-7-9=-16.
Portanto, pela recorrência de Horner:
p(x_{0})=b_{0}=-16.

Passo 4

Comparação com a avaliação direta (contando multiplicações) — explico o método direto que normalmente se usa sem Horner:
  • Para avaliar diretamente calcula‑se potências de x_{0} sequencialmente e multiplica‑se por cada coeficiente:
    • Computar x_{0}^{2},x_{0}^{3},x_{0}^{4},x_{0}^{5} 4 multiplicações (cada potência usa uma multiplicação com x_{0}).
    • Multiplicar cada potência pelo respectivo coeficiente para os termos de graus 5,4,3,2,1 dá mais 5 multiplicações (o termo constante não requer multiplicação).
  • Total de multiplicações no método direto: 4+5=9.
Confirmando a avaliação direta numericamente (só para conferir):
p(-1)=2(-1)^{5}-(-1)^{4}+3(-1)^{3}-2(-1)^{2}+(-1)-7=-2-1-3-2-1-7=-16,
que bate com Horner.
Resumo das contagens (avaliação de p(x_{0})):
  • Avaliação direta (método descrito): 9 multiplicações.
  • Horner: 5 multiplicações.
    Horner é mais eficiente em multiplicações (a cada redução do grau sobra uma multiplicação a menos).

Passo 5

Horner duplo para calcular p'(x_{0}) — explicação e recorrência:
  • Depois de calcular os b_k (como acima), faz‑se uma segunda recorrência para obter o valor da derivada no ponto.
  • Define‑se c_{5}=0,\qquad c_{k}=b_{k+1}+x_{0}\,c_{k+1}\quad\text{para }k=4,3,\dots,0.No final p'(x_{0})=c_{0}.
  • A intuição: os b_k representam os coeficientes intermediários da fatoração por Horner; a segunda recorrência acumula os coeficientes multiplicados pelos expoentes (maneira compacta de obter a derivada avaliada).
Agora calculo explicitamente (usando os b_k já obtidos: b_{5}=2,\;b_{4}=-3,\;b_{3}=6,\;b_{2}=-8,\;b_{1}=9,\;b_{0}=-16):
c_{5}=0.
c_{4}=b_{5}+x_{0}c_{5}=2+(-1)\cdot 0=2.
c_{3}=b_{4}+x_{0}c_{4}=-3+(-1)\cdot 2=-3-2=-5.
c_{2}=b_{3}+x_{0}c_{3}=6+(-1)\cdot(-5)=6+5=11.
c_{1}=b_{2}+x_{0}c_{2}=-8+(-1)\cdot 11=-8-11=-19.
c_{0}=b_{1}+x_{0}c_{1}=9+(-1)\cdot(-19)=9+19=28.
Logo,
p'(x_{0})=c_{0}=28.

Passo 6

Contagem de multiplicações para obter p'(x_{0}) com Horner duplo:
  • A primeira passagem (para obter p(x_{0})) usou 5 multiplicações.
  • A segunda passagem (para os c_k) tem também uma multiplicação por passo (o termo x_{0}c_{k+1}) e são 5 passos (de k=4 até 0), logo mais 5 multiplicações.
  • Total para obter simultaneamente p(x_{0}) e p'(x_{0}) via Horner duplo: 5+5=10 multiplicações.
Para referência: avaliar diretamente a derivada (polinômio de grau 4) sem Horner requer, pelo método direto análogo, 3 multiplicações para as potências x^{2},x^{3},x^{4} e 4 multiplicações para multiplicar pelos coeficientes dos termos de grau 4 a 1, total 7 multiplicações — mas isso é só comparação adicional; o enunciado pedia o cálculo via Horner duplo, que já foi feito.

Resposta

p(-1)=-16
Avaliação direta: 9 multiplicações.
Avaliação por Horner: 5 multiplicações.
p'(-1)=28

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