Exercício 24 - Avaliação por Horner
Avalie os polinômios abaixo em
usando o Algoritmo de Horner e compare com a avaliação direta (contando multiplicações).
Para cada caso, mostre a tabela de recorrência de Horner e calcule também
usando Horner duplo.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio e o ponto onde devemos avaliar:
- Polinômio:
. - Ponto:
.
O que se pede:
- Avaliar
usando o Algoritmo de Horner e mostrar a tabela de recorrência de Horner. - Comparar essa avaliação com a avaliação direta (contar multiplicações).
- Calcular
usando Horner duplo (ou seja, a variante de Horner que retorna também o valor da derivada) e mostrar a tabela correspondente.
Informações relevantes extraídas do enunciado (coeficientes do polinômio, listados do termo de maior grau para o termo independente):
Passo 2
Explicando o Algoritmo de Horner (passo a passo, didático e curto):
- Horner avalia um polinômio de grau
através da recorrência (para um dado ): O valor do polinômio em é . - Vantagem prática: cada passo calcula um produto
e uma soma, evitando o cálculo explícito de potências.
Agora aplico Horner ao nosso caso com
e
. Vou montar a tabela de recorrência mostrando
,
e o cálculo de
.
Interpretação dos resultados:
- A última linha dá
. - Checagem rápida pelo cálculo direto conhecido:
. Confere.
Passo 3
Horner duplo (como obter
com as quantidades já calculadas):
- Existe uma forma prática que usa os
obtidos em Horner para calcular a derivada sem reconstruir potências. A recorrência para os termos auxiliares é O valor coincide com .
Vou continuar a tabela incluindo os
. Começando de
e usando os
já calculados:
Conclusão deste passo:
- O valor da derivada é
. - Checagem rápida:
, logo . Confere.
Passo 4
Comparação de custos (contagem de multiplicações) — análise didática e honesta:
- Horner (avaliação de
apenas): para um polinômio de grau Horner precisa exatamente multiplicações (uma por passo ). Aqui, grau → Horner usou multiplicações para obter . - Horner duplo (calcular
e com as recorrências mostradas): contamos as multiplicações necessárias para os (6 multiplicações) e para os (mais 6 multiplicações), totalizando multiplicações no procedimento mostrado. - Alternativa: avaliar
fazendo Horner no polinômio derivado (ou seja, formar os coeficientes do derivado e aplicar Horner) custa multiplicações para o derivado. Se calcular (6 mult.) e separadamente por Horner, total seria multiplicações — ligeiramente menos que os do Horner duplo que fizemos, mas a diferença é pequena; Horner duplo permite um único passe com estrutura simples. - Avaliação direta específica deste polinômio (observando que muitos coeficientes são zero): para
só é preciso calcular e subtrair 1. - Método sequencial (multiplicando por
repetidamente): calcular dá multiplicações (cada novo expoente usa uma multiplicação). Então seriam multiplicações no total para obter , e nenhuma multiplicação extra com coeficiente 1; portanto multiplicações para . - Método mais eficiente (exponenciação por quadrados): calcular
(1 mult), (1 mult), (1 mult) — total multiplicações. Então, com expoenciação por quadrados, apenas multiplicações são suficientes para obter , e depois uma subtração para .
- Método sequencial (multiplicando por
- Interpretação prática:
- Para este polinômio específico, devido à estrutura esparsa (apenas termos
e constante), a avaliação direta (especialmente usando expoenciação por quadrados) é mais econômica em multiplicações do que Horner. - Horner é ótimo para polinômios densos (quando muitos coeficientes não são zero) e dá uma forma sistemática de avaliar sem pensar em potências. Em problemas gerais de prova, Horner é a técnica pedida e confiável; em casos especiais com pouquíssimos termos, pode existir uma alternativa mais curta.
- Para este polinômio específico, devido à estrutura esparsa (apenas termos
Passo 5
Resumo / dicas rápidas:
- Aplicando Horner encontramos
e, com Horner duplo, . - Em provas, se o enunciado pedir explicitamente Horner, faça Horner (mesa de recorrência clara, como aqui). Se o enunciado permitir qualquer método e o polinômio for muito esparso, vale pensar em estratégias específicas (ex.: expoenciação por quadrados).
- Parabéns: você montou a tabela, conferiu com a forma fechada e viu que ambos os resultados batem — isso é ótimo para a prova!