Exercício 24 - Avaliação por Horner
Avalie os polinômios abaixo em x_{0} usando o Algoritmo de Horner e compare com a avaliação direta (contando multiplicações).
Para cada caso, mostre a tabela de recorrência de Horner e calcule também p^{\prime}\left(x_{0}\right) usando Horner duplo.
p(x)=x^{6}-1, \quad x_{0}=-1

Passo 1

O enunciado dá o polinômio e o ponto onde devemos avaliar:
  • Polinômio: p(x)=x^{6}-1.
  • Ponto: x_{0}=-1.
O que se pede:
  1. Avaliar p(x_{0}) usando o Algoritmo de Horner e mostrar a tabela de recorrência de Horner.
  2. Comparar essa avaliação com a avaliação direta (contar multiplicações).
  3. Calcular p^{\prime}(x_{0}) usando Horner duplo (ou seja, a variante de Horner que retorna também o valor da derivada) e mostrar a tabela correspondente.
Informações relevantes extraídas do enunciado (coeficientes do polinômio, listados do termo de maior grau para o termo independente):
a_{6}=1,\quad a_{5}=0,\quad a_{4}=0,\quad a_{3}=0,\quad a_{2}=0,\quad a_{1}=0,\quad a_{0}=-1.

Passo 2

Explicando o Algoritmo de Horner (passo a passo, didático e curto):
  • Horner avalia um polinômio de grau n p(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0através da recorrência (para um dado x_0): b_n = a_n,\qquad b_{k} = a_{k} + x_0\, b_{k+1}\quad\text{para } k=n-1,n-2,\dots,0.O valor do polinômio em x_0 é p(x_0)=b_0.
  • Vantagem prática: cada passo calcula um produto x_0\cdot b_{k+1} e uma soma, evitando o cálculo explícito de potências.
Agora aplico Horner ao nosso caso com n=6 e x_0=-1. Vou montar a tabela de recorrência mostrando k, a_k e o cálculo de b_k.
\begin{array}{c|c|c} k & a_k & \text{cálculo de } b_k \\\ \hline 6 & 1 & b_6 = a_6 = 1 \\\\ 5 & 0 & b_5 = a_5 + x_0 b_6 = 0 + (-1)\cdot 1 = -1 \\\\ 4 & 0 & b_4 = a_4 + x_0 b_5 = 0 + (-1)\cdot(-1) = 1 \\\\ 3 & 0 & b_3 = a_3 + x_0 b_4 = 0 + (-1)\cdot 1 = -1 \\\\ 2 & 0 & b_2 = a_2 + x_0 b_3 = 0 + (-1)\cdot(-1) = 1 \\\\ 1 & 0 & b_1 = a_1 + x_0 b_2 = 0 + (-1)\cdot 1 = -1 \\\\ 0 & -1 & b_0 = a_0 + x_0 b_1 = -1 + (-1)\cdot(-1) = -1 + 1 = 0 \end{array}
Interpretação dos resultados:
  • A última linha dá p(x_0)=b_0=0.
  • Checagem rápida pelo cálculo direto conhecido: p(-1)=(-1)^6-1=1-1=0. Confere.

Passo 3

Horner duplo (como obter p'(x_0) com as quantidades já calculadas):
  • Existe uma forma prática que usa os b_k obtidos em Horner para calcular a derivada sem reconstruir potências. A recorrência para os termos auxiliares c_k é c_n = 0,\qquad c_k = b_{k+1} + x_0\, c_{k+1}\quad\text{para }k=n-1,n-2,\dots,0.O valor c_0 coincide com p'(x_0).
Vou continuar a tabela incluindo os c_k. Começando de c_6=0 e usando os b_{k} já calculados:
\begin{array}{c|c|c|c} k & a_k & b_k & \text{cálculo de } c_k \\\ \hline 6 & 1 & 1 & c_6 = 0 \\\\ 5 & 0 & -1 & c_5 = b_6 + x_0 c_6 = 1 + (-1)\cdot 0 = 1 \\\\ 4 & 0 & 1 & c_4 = b_5 + x_0 c_5 = (-1) + (-1)\cdot 1 = -2 \\\\ 3 & 0 & -1 & c_3 = b_4 + x_0 c_4 = 1 + (-1)\cdot(-2) = 1 + 2 = 3 \\\\ 2 & 0 & 1 & c_2 = b_3 + x_0 c_3 = (-1) + (-1)\cdot 3 = -1 -3 = -4 \\\\ 1 & 0 & -1 & c_1 = b_2 + x_0 c_2 = 1 + (-1)\cdot(-4) = 1 + 4 = 5 \\\\ 0 & -1 & 0 & c_0 = b_1 + x_0 c_1 = (-1) + (-1)\cdot 5 = -1 -5 = -6 \end{array}
Conclusão deste passo:
  • O valor da derivada é p'(x_0)=c_0=-6.
  • Checagem rápida: p'(x)=6x^5, logo p'(-1)=6(-1)^5=-6. Confere.

Passo 4

Comparação de custos (contagem de multiplicações) — análise didática e honesta:
  • Horner (avaliação de p apenas): para um polinômio de grau n Horner precisa exatamente n multiplicações (uma por passo x_0 b_{k+1}). Aqui, grau n=6 → Horner usou 6 multiplicações para obter p(-1).
  • Horner duplo (calcular p e p' com as recorrências mostradas): contamos as multiplicações necessárias para os b_k (6 multiplicações) e para os c_k (mais 6 multiplicações), totalizando 12 multiplicações no procedimento mostrado.
  • Alternativa: avaliar p' fazendo Horner no polinômio derivado (ou seja, formar os coeficientes do derivado d_{5}=6,\,d_4=0,\dots,d_0=0 e aplicar Horner) custa 5 multiplicações para o derivado. Se calcular p (6 mult.) e p' separadamente por Horner, total seria 11 multiplicações — ligeiramente menos que os 12 do Horner duplo que fizemos, mas a diferença é pequena; Horner duplo permite um único passe com estrutura simples.
  • Avaliação direta específica deste polinômio (observando que muitos coeficientes são zero): para p(x)=x^6-1 só é preciso calcular x_0^6 e subtrair 1.
    • Método sequencial (multiplicando por x_0 repetidamente): calcular x_0^2,x_0^3,\dots,x_0^6 5 multiplicações (cada novo expoente usa uma multiplicação). Então seriam 5 multiplicações no total para obter x_0^6, e nenhuma multiplicação extra com coeficiente 1; portanto 5 multiplicações para p.
    • Método mais eficiente (exponenciação por quadrados): calcular x_0^2 (1 mult), x_0^4=(x_0^2)^2 (1 mult), x_0^6 = x_0^4\cdot x_0^2 (1 mult) — total 3 multiplicações. Então, com expoenciação por quadrados, apenas 3 multiplicações são suficientes para obter x_0^6, e depois uma subtração para p.
  • Interpretação prática:
    • Para este polinômio específico, devido à estrutura esparsa (apenas termos x^6 e constante), a avaliação direta (especialmente usando expoenciação por quadrados) é mais econômica em multiplicações do que Horner.
    • Horner é ótimo para polinômios densos (quando muitos coeficientes não são zero) e dá uma forma sistemática de avaliar sem pensar em potências. Em problemas gerais de prova, Horner é a técnica pedida e confiável; em casos especiais com pouquíssimos termos, pode existir uma alternativa mais curta.

Passo 5

Resumo / dicas rápidas:
  • Aplicando Horner encontramos p(-1)=0 e, com Horner duplo, p'(-1)=-6.
  • Em provas, se o enunciado pedir explicitamente Horner, faça Horner (mesa de recorrência clara, como aqui). Se o enunciado permitir qualquer método e o polinômio for muito esparso, vale pensar em estratégias específicas (ex.: expoenciação por quadrados).
  • Parabéns: você montou a tabela, conferiu com a forma fechada e viu que ambos os resultados batem — isso é ótimo para a prova!

Resposta

p(-1)=0
p'(-1)=-6

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