Exercício 25 - Newton + Horner
Aplique o Método de Newton com avaliação de
e
via Horner duplo ao polinômio
(raízes
).
(a) Parta de
e encontre a raiz
.
(b) Deflacione
por
via Briot-Ruffini, obtendo
de grau 3 .
(c) Repita para as demais raízes, aplicando Newton+Horner a
sucessivamente.
(d) Atenção: Ao final, refine cada raiz no polinômio original
para compensar o acúmulo de erros da deflação.
(a) Parta de
(b) Deflacione
(c) Repita para as demais raízes, aplicando Newton+Horner a
(d) Atenção: Ao final, refine cada raiz no polinômio original
Passo 1
O enunciado fornece o polinômio
e diz que as raízes são
. As tarefas pedidas são:
- (a) Aplicar o Método de Newton partindo de
para encontrar a raiz . - (b) Deflacionar
por via Briot–Ruffini (divisão sintética), obtendo um polinômio de grau 3. - (c) Repetir Newton+Horner para encontrar as raízes seguintes usando, sucessivamente,
(cada deflação reduz o grau em 1). - (d) Ao final, refinar cada raiz no polinômio original
para compensar erro de deflação.
Informações relevantes dadas:
- Coeficientes de
: - Ponto inicial para a primeira raiz:
- Deve ser usada avaliação de
e via Horner duplo (ou seja, Horner simultâneo para o polinômio e sua derivada). - Depois de achar cada raiz aproximada, usar Briot–Ruffini (divisão sintética) para deflacionar e obter o polinômio da próxima etapa.
Passo 2
Explicando o método (o que vai ser usado e por quê), bem devagar e com exemplo concreto.
- Método de Newton (fórmula)
Aqui
é o polinômio e
sua derivada. A ideia: aproximamos a função por sua reta tangente em
e pegamos a interseção dessa reta com o eixo
.
- Horner para avaliação de
Se, o Horner calcula eficientemente com o esquema
e então
.
- Horner duplo (avaliação simultânea de
e )
Há um truque simples: definimos também
então
. Ou seja, na mesma passada de Horner obtemos os
(que levam a
) e os
(que levam a
). Vou usar exatamente esse esquema em cada iteração de Newton — isso é o que se chama “Horner duplo”.
- Briot–Ruffini (divisão sintética)
Para dividirpor basta usar os coeficientes e fazer a tabulação:
- traz-se o
para baixo como primeiro coeficiente do quociente, - multiplica-se por
, soma-se ao próximo coeficiente, etc.
No final o resto é. Se é (aprox.) raiz simples e o resto for (aprox.) zero, os coeficientes formam o polinômio deflacionado.
Observação prática: como as raízes são inteiras e simples, quando encontrarmos
e o resto for (aprox.) zero, a divisão por
dará coeficientes inteiros exatos.
Passo 3
Aplicação prática: começar por
. Vou executar uma iteração completa de Horner duplo para
detalhadamente (isto serve de exemplo do procedimento; nas próximas iterações uso o mesmo método).
Coeficientes de
:
Horner duplo em
:
Resultado:
Aplicando Newton:
Anotações didáticas curtas:
- Note que a mesma tabela de Horner (os
) já representa a divisão sintética por parcial; o vetor é usado quando deflacionarmos por uma raiz exata. - O Horner duplo economiza trabalho porque avaliamos
e numa única passada.
Passo 4
Iterações seguintes (cada avaliação feita por Horner duplo; mostro os resultados numéricos das iterações — as contas internas são as mesmas do Passo 3, repetidas com o novo
). Vou mostrar iterações até convergência prática para a raiz 1.
Usando Horner duplo e Newton repetidamente (todos os p(x_k) e p’(x_k) avaliados via Horner duplo):
-
Iteração 1 (já feita):
→ -
Iteração 2: avaliar
e em via Horner duplo e aplicar Newton → obtém-se
- Iteração 3: repetir →
- Iteração 4: repetir →
- Iteração 5: repetir →
- Iteração 6: repetir →
Comentário didático: Newton converge muito rápido (convergência quadrática) porque estamos perto de uma raiz simples. Em poucas iterações já temos precisão numérica de máquina em geral. Aqui, após 5–6 iterações chegamos a um valor que, para todos os propósitos práticos, é exatamente
. Ou seja, a raiz encontrada é
.
Passo 5
Agora fazemos a deflação de
por
. Como
é raiz exata (e o resto numérico é nulo dentro da precisão), aplicamos Briot–Ruffini (divisão sintética) com
.
Coeficientes iniciais:
.
Tabela de Briot–Ruffini com
:
- Trazer
(coef. líder). - Multiplicar por
, somar ao próximo coeficiente: . - Multiplicar
por , somar: . - Multiplicar
por , somar: . - Multiplicar
por , somar: (resto zero, confirma raíz).
Os coeficientes do quociente
(grau 3) são
, ou seja
Observação: agora
tem as demais raízes
.
Passo 6
Repetir Newton+Horner para
para achar a próxima raiz. Vou escolher um ponto inicial razoável para convergir à raiz
; por exemplo
. O procedimento é o mesmo: Horner duplo aplicado a
(agora grau 3) para obter
e
, e aplicar Newton.
Apenas os resultados das iterações (cada avaliação feita por Horner duplo):
- Partindo de
, após poucas iterações de Newton obtemos:
Ou seja, converge para
.
Agora deflacionamos
por
via Briot–Ruffini. Coeficientes de
:
.
- Trazer
. -
-
-
(resto zero).
Quociente
(grau 2) tem coeficientes
, ou seja
Sabendo fatoração,
.
Passo 7
Agora aplicar Newton+Horner a
para encontrar uma das raízes, por exemplo
. Escolhendo
e iterando:
- Após poucas iterações de Newton (Horner duplo em grau 2 é trivial) chega-se a
Deflacionando
por
via Briot–Ruffini (ou observando fatoração) obtemos o polinômio linear
.
Passo 8
Finalmente, a última raiz óbvia de
é
. Se desejarmos, podemos aplicar uma última iteração de Newton ao polinômio original
para “refinar” cada raiz encontrada e compensar qualquer pequeno erro numérico acumulado na deflação. O refinamento de uma raiz aproximada
é simplesmente uma atualização de Newton usando
e
(avaliados via Horner duplo) no polinômio original:
Refinamento (exemplo genérico)
No nosso caso, como cada deflação foi feita com raízes inteiras exatas (e os restos deram zero dentro da precisão), essas correções são nulas dentro da precisão numérica — ou seja, após o refinamento obtemos exatamente
(na prática numérica, as atualizações são da ordem de erros de máquina e desaparecem).
Passo 9
Resumo do procedimento (fluxo que você deve repetir na prova):
- Para cada raiz a ser encontrada:
- Escolher um chute inicial razoável
. - Avaliar
e via Horner duplo (faça a tabela dos e ). - Atualizar
. - Repetir até a convergência desejada.
- Quando
for raiz (ou aproximar-se muito de uma), deflacionar via Briot–Ruffini (divisão sintética) para obter o polinômio da próxima etapa. - No fim, refinar cada raiz candidata aplicando uma ou duas iterações de Newton usando o polinômio original
.
- Escolher um chute inicial razoável
Dica prática: use Horner duplo sempre — ele dá
e
numa passagem só e os coeficientes intermediários servem direto para a divisão sintética quando a raiz for exata.
Resposta
1
2
3
4