Exercício 26. Calcule \int_{S}(3 x+2 y-6 z) d s, onde S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, x \geq 0, z \geq 0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral de superfície
\int_{S}(3x+2y-6z)\,dS
onde S é a parte da esfera unitária
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1
sujeita às restrições x\ge 0 e z\ge 0.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A superfície é a esfera de raio 1 (unidade).
  • A região S é a porção da esfera com x\ge 0 e z\ge 0 (ou seja, a parte da esfera com as duas metades x\ge0 e z\ge0 simultâneas).
  • A função a integrar sobre a superfície é f(x,y,z)=3x+2y-6z.
  • A integração é da forma escalar \int_{S} f\,dS (não é integral vetorial).

Passo 2

Entendimento geométrico da região S (sem ainda resolver): a esfera inteira tem simetria; impor x\ge0 e z\ge0 corresponde a cortar a esfera por dois planos perpendiculares e ficar com um quarto da superfície total (porque cada condição divide em duas metades independentes). Então a região S é um quarto da superfície esférica de raio 1. Vou usar uma parametrização natural da esfera (coordenadas esféricas) para transformar a integral de superfície em uma integral dupla em ângulos.

Passo 3

Parâmetros e fórmulas de coordenadas esféricas para a esfera unitária:
  • Uso os ângulos \varphi (colatitude, ângulo a partir do eixo z, variando de 0 a \pi) e \theta (azimute em torno do eixo z, variando de 0 a 2\pi).
  • A parametrização padrão da esfera unitária é
x=\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\cos\varphi.
  • O elemento de área da esfera unitária é
dS = \sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Explicação curta: o fator \sin\varphi vem do Jacobiano da transformação entre coordenadas cartesianas e esféricas; para uma esfera de raio 1, a área de um elemento paralelo é \sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Determinação dos limites de integração em \varphi e \theta dados x\ge0 e z\ge0:
  • A condição z\ge0 significa \cos\varphi\ge0, logo \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}] (colatitude do polo norte até o plano equatorial).
  • A condição x\ge0 significa \sin\varphi\cos\theta\ge0. Para \varphi\in(0,\tfrac{\pi}{2}] temos \sin\varphi>0, então isso equivale a \cos\theta\ge0, ou seja \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}].
    Portanto os limites são
\varphi\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right],\qquad \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right].

Passo 5

Reescrevo a função integranda em coordenadas esféricas:
3x+2y-6z = 3(\sin\varphi\cos\theta)+2(\sin\varphi\sin\theta)-6(\cos\varphi).
Multiplicando por dS=\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta obtemos o integrando em (\varphi,\theta):
(3x+2y-6z)\,dS = \bigl(3\sin\varphi\cos\theta+2\sin\varphi\sin\theta-6\cos\varphi\bigr)\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Simplificando o produto com \sin\varphi:
\bigl(3\sin^{2}\varphi\cos\theta + 2\sin^{2}\varphi\sin\theta - 6\sin\varphi\cos\varphi\bigr)\,d\varphi\,d\theta.

Passo 6

Faço a integral dupla com os limites encontrados:
I=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2}\Bigl(3\sin^{2}\varphi\cos\theta + 2\sin^{2}\varphi\sin\theta - 6\sin\varphi\cos\varphi\Bigr)\,d\varphi\,d\theta.
Vou separar em três integrais somadas, uma para cada termo. Isso é permitido porque a integral é linear:
I = I_1 + I_2 + I_3,
onde
I_1 = 3\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta\;\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\varphi\,d\varphi,
I_2 = 2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta\;\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\varphi\,d\varphi,
I_3 = -6\int_{-\pi/2}^{\pi/2}d\theta\;\int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi.
Expliquei a separação: os fatores que dependem só de \theta e só de \varphi podem ser separados em produto de integrais.

Passo 7

Calculo das integrais em \theta:
  • \displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta = \bigl[\sin\theta\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} = 1-(-1)=2.
  • \displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta = \bigl[-\cos\theta\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} = -\cos(\pi/2) + \cos(-\pi/2) = 0 + 0 = 0. (ou simplesmente: \sin\theta é função ímpar e o intervalo é simétrico, então integral é zero).
  • \displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}d\theta = \pi.

Passo 8

Calculo das integrais em \varphi:
  • Para \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\varphi\,d\varphi uso a identidade \sin^{2}\varphi=\tfrac{1}{2}(1-\cos2\varphi). Então
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\varphi\,d\varphi = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}(1-\cos2\varphi)\,d\varphi = \frac{1}{2}\Bigl[\varphi - \tfrac{1}{2}\sin2\varphi\Bigr]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}.
  • Para \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi uso a substituição u=\sin^{2}\varphi (ou a identidade \sin\varphi\cos\varphi=\tfrac{1}{2}\sin2\varphi). Com u=\sin^{2}\varphi temos du=2\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi, logo
\int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}du = \frac{1}{2}\bigl(\sin^{2}\varphi\bigr)\Big|_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{2}(1-0)=\frac{1}{2}.

Passo 9

Agora monto cada contribuição usando os valores obtidos:
  • Para I_1:
I_1 = 3\cdot\biggl(\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta\biggr)\cdot\biggl(\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\varphi\,d\varphi\biggr) = 3\cdot 2\cdot \frac{\pi}{4} = \frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}.
  • Para I_2:
I_2 = 2\cdot\biggl(\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta\biggr)\cdot\biggl(\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\varphi\,d\varphi\biggr) = 2\cdot 0\cdot \frac{\pi}{4} = 0.
  • Para I_3:
I_3 = -6\cdot\biggl(\int_{-\pi/2}^{\pi/2}d\theta\biggr)\cdot\biggl(\int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi\biggr) = -6\cdot \pi \cdot \frac{1}{2} = -3\pi.

Passo 10

Somando as contribuições:
I = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{3\pi}{2} + 0 - 3\pi = -\frac{3\pi}{2}.
Interpretação rápida: o termo em -6z domina negativamente porque em S temos z\ge0, então a integral total ficou negativa.

Resposta

-\dfrac{3\pi}{2}

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