Exercício 26. Calcule \int_{S}(3 x+2 y-6 z) d s, onde S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, x \geq
0, z \geq 0\right\}.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral de superfície
\int_{S}(3x+2y-6z)\,dS
onde S é a parte da esfera unitária
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1
sujeita às restrições x\ge 0 e z\ge 0.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A superfície é a esfera de raio 1 (unidade).
A região S é a porção da esfera com x\ge 0 e z\ge 0 (ou seja, a parte da esfera com as duas metades x\ge0 e z\ge0 simultâneas).
A função a integrar sobre a superfície é f(x,y,z)=3x+2y-6z.
A integração é da forma escalar \int_{S} f\,dS (não é integral vetorial).
Passo 2
Entendimento geométrico da região S (sem ainda resolver): a esfera inteira tem simetria; impor x\ge0 e z\ge0 corresponde a cortar a esfera por dois planos perpendiculares e ficar com um quarto da superfície total (porque cada condição divide em duas metades independentes). Então a região S é um quarto da superfície esférica de raio 1. Vou usar uma parametrização natural da esfera (coordenadas esféricas) para transformar a integral de superfície em uma integral dupla em ângulos.
Passo 3
Parâmetros e fórmulas de coordenadas esféricas para a esfera unitária:
Uso os ângulos \varphi (colatitude, ângulo a partir do eixo z, variando de 0 a \pi) e \theta (azimute em torno do eixo z, variando de 0 a 2\pi).
Explicação curta: o fator \sin\varphi vem do Jacobiano da transformação entre coordenadas cartesianas e esféricas; para uma esfera de raio 1, a área de um elemento paralelo é \sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Passo 4
Determinação dos limites de integração em \varphi e \theta dados x\ge0 e z\ge0:
A condição z\ge0 significa \cos\varphi\ge0, logo \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}] (colatitude do polo norte até o plano equatorial).
A condição x\ge0 significa \sin\varphi\cos\theta\ge0. Para \varphi\in(0,\tfrac{\pi}{2}] temos \sin\varphi>0, então isso equivale a \cos\theta\ge0, ou seja \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}].
Portanto os limites são
\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta = \bigl[-\cos\theta\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} = -\cos(\pi/2) + \cos(-\pi/2) = 0 + 0 = 0. (ou simplesmente: \sin\theta é função ímpar e o intervalo é simétrico, então integral é zero).
\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}d\theta = \pi.
Passo 8
Calculo das integrais em \varphi:
Para \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\varphi\,d\varphi uso a identidade \sin^{2}\varphi=\tfrac{1}{2}(1-\cos2\varphi). Então
Para \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi uso a substituição u=\sin^{2}\varphi (ou a identidade \sin\varphi\cos\varphi=\tfrac{1}{2}\sin2\varphi). Com u=\sin^{2}\varphi temos du=2\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi, logo