Exercício 25. Calcule \int_{S} z d s, onde S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, x \geq 0, z \geq 0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral de superfície
\iint_{S} z\,d s,
onde S é a porção da esfera unitária
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1
sujeita às restrições x\geq 0 e z\geq 0.
Informações e o que é pedido:
  • A superfície S é a parte da esfera de raio 1 (esfera unitária).
  • Temos as restrições x\geq 0 e z\geq 0, que delimitam uma “fatia” da superfície esférica.
  • A função a integrar sobre a superfície é z.
  • A tarefa é calcular \displaystyle \iint_{S} z\,d s (integral de superfície da função z sobre S).

Passo 2

Escolha de parametrização e escolha das variáveis:
Vou parametrizar a esfera unitária usando coordenadas esféricas (parâmetros \varphi\) e \(\theta\)). Aqui uso a convenção: \[\begin{cases} x=\sin\varphi\cos\theta,\\[4pt] y=\sin\varphi\sin\theta,\\[4pt] z=\cos\varphi, \end{cases}
onde \varphi\] é o ângulo colatitude (medido a partir do eixo \(z positivo) e \theta é o ângulo azimutal no plano xy.
Intervalos gerais (para a esfera inteira) seriam \varphi\in[0,\pi] e \theta\in[0,2\pi). Agora aplico as restrições da região S:
  • A condição z\geq 0 significa \cos\varphi\geq 0, então \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}].
  • A condição x\geq 0 significa \sin\varphi\cos\theta\geq 0. Para \varphi\in(0,\tfrac{\pi}{2}] temos \sin\varphi>0, então precisa \cos\theta\geq 0. Assim escolho \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] (é um intervalo de comprimento \pi; equivalentemente poderíamos usar [0,\tfrac{\pi}{2}]\cup[3\tfrac{\pi}{2},2\pi), mas a escolha simétrica [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] é mais simples).
Portanto o domínio dos parâmetros para S é
\varphi\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right],\qquad \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right].]

Passo 3

Cálculo do elemento de área d s na parametrização:
Para uma parametrização \mathbf{r}(\varphi,\theta) da superfície, o elemento de área é \left\|\mathbf{r}_\varphi\times\mathbf{r}_\theta\right\|\,d\varphi\,d\theta.
Com a parametrização
\mathbf{r}(\varphi,\theta)=\big(\sin\varphi\cos\theta,\;\sin\varphi\sin\theta,\;\cos\varphi\big),
calculo as derivadas parciais:
\mathbf{r}_\varphi=(\cos\varphi\cos\theta,\;\cos\varphi\sin\theta,\;-\,\sin\varphi),
\mathbf{r}_\theta=(-\sin\varphi\sin\theta,\;\sin\varphi\cos\theta,\;0).
Agora o produto vetorial \mathbf{r}_\varphi\times\mathbf{r}_\theta (mostro só os passos essenciais do cálculo):
\mathbf{r}_\varphi\times\mathbf{r}_\theta= \big(\sin^{2}\varphi\cos\theta,\;\sin^{2}\varphi\sin\theta,\;\sin\varphi\cos\varphi\big).
O quadrado da norma é
\|\mathbf{r}_\varphi\times\mathbf{r}_\theta\|^{2} =\sin^{4}\varphi(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)+\sin^{2}\varphi\cos^{2}\varphi =\sin^{4}\varphi+\sin^{2}\varphi\cos^{2}\varphi=\sin^{2}\varphi.
Como \sin\varphi\ge 0 para \varphi\in[0,\pi], temos
\|\mathbf{r}_\varphi\times\mathbf{r}_\theta\|=\sin\varphi.
Portanto o elemento de área na esfera unitária é
d s=\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
(Isto é o resultado clássico: numa esfera de raio 1, o elemento de área é \sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.)

Passo 4

Escrever a integral na parametrização e calcular:
Na parametrização, z=\cos\varphi e d s=\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta. Assim a integral fica
\iint_{S} z\,d s =\int_{\theta=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{\varphi=0}^{\frac{\pi}{2}} \big(\cos\varphi\big)\big(\sin\varphi\big)\,d\varphi\,d\theta.
Primeiro calculo a integral interna em \varphi:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi.
Faço uma substituição simples: defina u=\sin\varphi. Então du=\cos\varphi\,d\varphi. Quando \varphi=0 temos u=0; quando \varphi=\tfrac{\pi}{2} temos u=1. A integral torna-se
\int_{0}^{1} u\,du=\left.\frac{u^{2}}{2}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2}.
Agora a integral em \theta é simplesmente multiplicar pelo comprimento do intervalo de \theta, que é \pi (de -\tfrac{\pi}{2} a \tfrac{\pi}{2}). Assim
\iint_{S} z\,d s =\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)\,d\theta =\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) =\frac{1}{2}\cdot\pi=\frac{\pi}{2}.

Passo 5

Interpretação rápida (para motivar): o resultado \tfrac{\pi}{2} faz sentido porque estamos integrando a componente z positiva sobre uma fração da esfera; dá para pensar também que é a área efetiva “ponderada” pela altura z. Mas o cálculo direto via coordenadas esféricas é o caminho mais simples e seguro para a prova.

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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