Exercício 26 (Plano por um ponto e dois vetores diretores) Determinar uma equação cartesiana do plano (P) que passa pelo ponto A(1 ; 0 ; 1) e tem a direção dos vetores p1=(1 ; 1 ; 0), p2=(0 ; 1 ; 1).

Passo 1

O enunciado pede a equação cartesiana do plano (P) que passa pelo ponto A(1;0;1) e possui vetores diretores vec p1=(1;1;0) e vec p2=(0;1;1). Para determinar essa equação, vamos (i) obter um vetor normal vec n ao plano via produto vetorial e depois (ii) usar a forma
vec ncdotl((x,y,z)-Ar)=0

Passo 2

Calculamos o vetor normal vec n=vec p1timesvec p2 pela regra do determinante:
vec n = i & j & k 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 = i(1cdot1-0cdot1);-;j(1cdot1-0cdot0);+;k(1cdot1-1cdot0) = (1,-1,1)

Passo 3

Substituindo vec n=(1,-1,1) e A=(1,0,1) em
vec ncdotl((x,y,z)-(1,0,1)r)=0
obtemos
1(x-1)-1(y-0)+1(z-1)=0
e, simplificando,
x - y + z - 2 = 0

Resposta

x - y + z - 2 = 0

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