Exercício 24 (Equações paramétricas) Considere-se o espaço munido de um sistema de coordenadas ortonormais (O ; imath, jmath, k). Sejam s, t in R parâmetros reais. Considere-se o plano com equação geral (P): x-2 y+3 z=-5; considerem-se o plano ( Q ) e a reta (R) com as respectivas representações paramétricas
(Q):l x=-2+s+2 t y=-s-2 t z=-1-s+3 t (s, t in R) (R):l x=-2+t y=-t z=-1-t (t in R)
Considerem-se os pontos M=(-1 ; 2 ; 3), N=(1 ;-2 ; 9).
24.2 Determinar a posição relativa da reta (R) e do plano (P).

Passo 1

Temos o plano
e a reta dada por
O objetivo é determinar se , é paralela ou está contida em . Para isso, basta substituir as coordenadas paramétricas de na equação de .

Passo 2

Substituindo x=-2+t, y=-t e z=-1-t em x - 2y + 3z obtemos
(-2 + t);-;2(-t);+;3(-1 - t) ;=;-2 + t + 2t -3 -3t ;=;-5 + (t+2t-3t) ;=;-5

Passo 3

Vimos que para todo tinR a combinação
x - 2y + 3z
valeu sempre -5, exatamente o lado direito da equação de (P). Isso significa que toda a reta (R) satisfaz a equação do plano (P), logo (R) está contida em (P).

Resposta

A reta (R) está contida no plano (P).

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