Seja T: R^2 R^2 uma transformação linear definida por
T(x, y)=(-x+y, 2 y)
Determine [T^-1] Can , Can de duas formas: A primeira utilizando a expressão algébrica de T^-1(x, y) e a segunda utilizando o resultado que diz que [T^-1]C a n, C a n=([T]C a n, C a n)^-1. Compare os resultados;

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:R^2toR^2 definida por
T(x,y)=(-x+y,;2y)
e pede a matriz de T^-1 na base canônica por dois métodos: (i) achar primeiro T^-1(u,v) de modo algébrico e extrair sua matriz; (ii) montar [T]Can,Can e inverter essa matriz pela fórmula para matrizes 2times2.

Passo 2

Para obter algebraicamente, escrevemos
Da segunda componente vem
e da primeira
Logo
Extraindo a matriz em relação à base canônica, temos para
isto é,
]

Passo 3

Agora montamos primeiro a matriz de T na base canônica. Como
T(x,y)=(-1cdot x+1cdot y,;0cdot x+2cdot y),
temos
[T]Can,Can = -1 & 1[4pt] 0 & 2
O determinante é det[T]=(-1)cdot2-0cdot1=-2, e aplicando a fórmula
[T]^-1 =1det[T] 2 & -1[4pt] 0 & -1 =-12 2 & -1[4pt] 0 & -1 = -1 & tfrac12[4pt] 0 & tfrac12 ]

Passo 4

Comparando, os dois métodos dão a mesma matriz de T^-1.

Resposta

[T^-1]Can,Can = -1 & tfrac12[6pt] 0 & tfrac12 ]

Exercícios relacionados