Exercício 24 (Equações paramétricas) Considere-se o espaço munido de um sistema de coordenadas ortonormais (O ; imath, jmath, k). Sejam s, t in R parâmetros reais. Considere-se o plano com equação geral (P): x-2 y+3 z=-5; considerem-se o plano ( Q ) e a reta (R) com as respectivas representações paramétricas
(Q):l x=-2+s+2 t y=-s-2 t z=-1-s+3 t (s, t in R) (R):l x=-2+t y=-t z=-1-t (t in R)
Considerem-se os pontos M=(-1 ; 2 ; 3), N=(1 ;-2 ; 9).
24.6 Determinar se o ponto M pertence à interseção dos planos (P) e ( Q ).

Passo 1

O enunciado dá o plano
(P):x-2y+3z=-5
e o plano
(Q): x=-2+s+2t, y=-s-2t, z=-1-s+3t, (s,tinR)
e pede para ver se o ponto
M=(-1;2;3)
pertence à interseção (P)cap(Q). Para isso basta verificar se M satisfaz a equação de (P) e se existe (s,t) tal que a parametrização de (Q) gera M.

Passo 2

Substituímos as coordenadas de M na equação de (P):
-1 ;-;2cdot2;+;3cdot3 ;=;-1-4+9 ;=;4
Como 4neq -5, concluímos que
Mnotin(P),
logo M não pode pertencer a (P)cap(Q).

Passo 3

Para confirmar, tentamos achar (s,t) em (Q). De
-2+s+2t=-1, -,s-2t=2,
vem
s+2t=1, -s-2t=2Longrightarrow 0=3,
que é impossível. Logo
Mnotin(Q)

Resposta

O ponto M não pertence à interseção (P)cap(Q).

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