Exercício 3. Considerando n_{1}, n_{2}, n_{3} \in \mathbb{Z}_{>0}. Calcule:
n_{1}^{2} \cdot n_{1}^{98}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • São dados n_{1}, n_{2}, n_{3}\in\mathbb{Z}_{>0} (ou seja, inteiros positivos).
  • Pede para calcular a expressão n_{1}^{2}\cdot n_{1}^{98}.
O que se quer: simplificar/avaliar simbolicamente o produto de potências que têm a mesma base n_{1}.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa escrever a^{m} quando m é um inteiro positivo.
  • Seja a um número (aqui a será n_{1}) e m\in\mathbb{Z}_{>0}. Por definição,
a^{m}= \underbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a}_{m\text{ fatores}}.
  • Nesta notação, a chama-se base e m chama-se expoente (ou potência). O expoente indica quantas vezes a base aparece multiplicada.

Passo 3

Escrevendo cada fator do produto como produto repetido temos:
n_{1}^{2}= \underbrace{n_{1}\cdot n_{1}}_{2\text{ fatores}}, \qquad n_{1}^{98}= \underbrace{n_{1}\cdot n_{1}\cdots n_{1}}_{98\text{ fatores}}.
Multiplicando esses dois resultados aparecem, no total, 2+98 fatores iguais a n_{1}.

Passo 4

Portanto, o produto n_{1}^{2}\cdot n_{1}^{98} é o produto de 2+98=100 fatores iguais a n_{1}. Pela definição de potência isso significa que o produto é n_{1} elevado à potência 100.

Passo 5

Existe também uma regra geral (lei dos expoentes) que resume o raciocínio anterior e que é muito útil na prova:
\text{Se }a\neq 0\text{ e }m,n\in\mathbb{Z},\quad a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}.
Aqui a é a base comum e m,n são os expoentes; a regra é demonstrada diretamente pela definição de potência como produto repetido. Aplicando essa lei com a=n_{1}, m=2 e n=98 obtemos
n_{1}^{2}\cdot n_{1}^{98}=n_{1}^{2+98}=n_{1}^{100}.

Resposta

n_{1}^{100}

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